LIVRE PREMIER. — INTÉGRALES DÉFINIES ET INDÉFINIES. 2!CI

et que, par conséquent, les formules employées ne sont pas applicables au* cas dont il s’agit.

Poisson ne s’en tient pas à cette raison sommaire qui supprime la difficulté. f(x) étant la dérivée de F(x), on a, dit-il,

Des la naissance du calcul intégral on a regardé l'intégrale définie comme exprimant la somme des valeurs de la différentielle et ces valeurs comme les éléments de l’intégrale; et c’est pour cette raison que l'on a indiqué les intégrales par la

lettre^ > initiale du mot somme. Depuis, ou a senti que cette notion de l’intégrale

était un véritable théorème qui a besoin d'étre démontré. Ou prouve donc maintenant, dans le calcul intégral, que la quantité F {b) — F (a) est la somme des valeurs de f{x)dx, lorsque x va de x = a à x=b par degrés infiniment petits, chacun de ces degrés étant exprimé par dx. Celle proposition a lieu quels que soient les changements de signe de f(x)dx entre les limites a et b. Elle subsiste aussi lors même que celte différentielle passe par des valeurs imaginaires ; mais la démonstration qu’on en donne suppose essentiellement qu'entre les mémos limites, /(x) demeure une quantité finie, et quand, au contraire, elle passe une ou plusieurs fois par l’infini, il y a des cas dans lesquels cette proposition cesse d’avoir lieu. Dans ces sortes de cas, l’intégrale définie n’a plus aucun rapport nécessaire avec la somme des valeurs de la différentielle comme le prouvent les exemples cités

plus haut, de f 'y, J -*■

Nous allons faire voir, ajoute Poisson, que l’on peut ramener ces cas d’exception à la notion ordinaire des intégrales regardées comme les sommes de leurs éléments, ce qui fera disparaître l’espèce d’anomalie qu’elles présentent.

Il suffit, pour cela, de faire en sorte que la variable x passe de la limite a à la limite b par une série de valeurs imaginaires. Alors /{x) ne deviendra plus infinie pour aucune de ces valeurs intermédiaires, et l’intégrale définie reprendra sa

signification ordinaire. Ainsi, relatrvemcnt à l’intégrale J ' prise depuis x = — i jusqu’à x = -t- i , je fais

x = — (coss -F y— isinsj,

et j’intègre par rapport à :, depuis : = o jusqu'à : = (3/1+ i)s, n étant un nombre entier quelconque positif ou négatif. Les valeurs extrêmes de x seront toujours

mais en allant d'une limite à l'autre, çetle variable ne passera plus par la valeur

ar = o, qui rendait infinie la quantité ~ ■ Nous aurons alors

ttx=z (situ — ^ — icosx) dz =— y— i(cosj ■+- voisin z)dz,

J"-*- =JV— = 3 <f— i + e,

et l'intégrale définie

r^'dt , —

I ÿ-i«J=|>»+l|it v — * •

Ce passage très-remarquable de Poisson contient la définition précise des intégrales imaginaires, qui ont joué depuis un rôle si important; mais satisfait d'avoir écarté une difficulté* singulière qui l'avait un instant étonné, il n’a suivi aucune des conséquences de son ingénieuse explication, en laissant à Cauchy l’honneur de créer la théorie nouvelle.

333. La définition de Cauchy est conforme à celle de Poisson. L’intégrale

est la limite de la somme des valeurs que prend la différentielle <f(z)dz, lorsque a passe dea-t-év^-1 »c+t( v — 1 » e» recevant des valeurs intermédiaires qui se succèdent suivant une loi continue. C’est précisément d'ailleurs, on le voit, la définition donnée pour les intégrales réelles, lorsque la variable, sans cesser d'être réelle, passe de la limite inférieure à la limite supérieure. On voit que l'intégrale change de signe, comme dans le cas des limites réelles, lorsque, les deux limites se changeant l'une dans l’autre, la série des valeurs intermédiaires reste la même, et est représentée par la même courbe parcourue en sens inverse.

Mais sous l'identité apparente des deux définitions, subsiste une différence essentielle : lorsque z passe de la valeur réelle a à* la valeur réelle b, les valeurs intermédiaires réelles qu’elle doit prendre sont entièrement déterminées; il n’en est pas de même lorsqu'une variable imaginaire doit passer de la valeur initiale a ■+■ b v — i à la valeur finale — >• Les expressions imaginaires étant représentées, comme

on l'a dit, par les points d'un plan, si P et Q sont les points correspondants aux limites de l'intégrale, on peut les réunir par une courbe quelconque et attribuer successivement à z les valeurs représentées par les points de cette courbe, dont la orme arbitraire introduit dans la définition une indétermination réelle, mais heuu-