LIVRE PREMIER. - INTEGRALES DÉFINIES ET INDEFINIES. S9S
coup moindre cependant que l’on ne serait porlé à le croire à première vue. Si la courbe, en effet, se déforme d'une manière continue en conservant les memes points extrêmes qui représentent les limites données, l’intégrale ne varie pas continuellement avec elle, et c’est seulement lorsque.la courbe franchit certains points particuliers, nommés points critiques, qu'elle change brusquement de valeur.
33i. Considérons, en effet, l’inlégrale
Si la définition de f { a) la rend susceptible de plusieurs valeurs, on doit se donner celle qui correspond au point P, et la loi de continuité suffit alors, comme on l'a expliqué (1, 373), pour déterminer celles que prend ensuite successivement la fonction. Soit
M et N étant des fonctions données de ar et dey. On aura, en posant z — x -f- y y — i ,
91' s )dz = CM + N^-i,l(i/.r + ity Y — 1 ) = M tir — N rfy + V-i ; M rfy -1- N dr\, et
(1) Aifî) ds — f(Mdx — Nrfy y — 1 j ( M dy ■+■ N tir).
I.a lettre j représente, dans le second membre, une fonction arbitraire de x, et la courbe dont les points ont pour coordonnées les valeurs successives de ,r et de y est entièrement arbitraire; les points extrêmes seuls sont donnés par les limites
de l’inlégrale [f(z) dz. Supposons que cette courbe, le long de laquelle on intègre,
se déplace infiniment peu. et que la fonction y subisse un petit changement et devienne y -4- y, ,y, étant nul aux deux limites, le second membre de (1) changera de forme; mais nous allons prouver qu’en général il ne change pas de valeur.
Kn désignant par y' la dérivée dey, le second membre de (1) peut s’écrire
(a) + j ( Mr’-t- N ) ilx.
Si l’on remplace y pary-t- y,, y, étant infiniment petit, l’accroissement de (a) est évidemment
... f/rfM d N , M ,\, , — f/rf.M , „ , rfN \,
13) J \Wr,~ <irr •r,-N>'1)rfx + v l J \Wr,r + Mr,+ rfFr’) :
2!Hi deuxième partie. - CALCUL intégral.
mais on a, y étant une fonction de .v.
,,x = .Nr- - j ri (S + ijr’) **'
/Mr • dx = M-n -.A' (S + ,/r-
et l'expression (3) devient, en remarquant que y, est nul aux deux limites. •
et comme on a (I, 360)
</M dS ,1 N rfM
fty + <ix i/y dx °'
on voit que le changement de l’intégrale (a) est égal à zéro.
Plusieurs remarques sont nécessaires. En calculant le changement de l'intégrale (a), nous avons négligé les infiniment petits du second ordre, et par conséquent la démonstration précédente prouve seulement que y recevant une variation infiniment petite du premier ordre, la variation correspondante de l'intégrale (a) est du second ordre, tout au plus. Mais on sait qu’alors fl, 2) celte variation est rigoureusement nulle, et qu'un changement fini apporté à la fonction y n'en peut apporter aucun dans l'intégrale.
La démonstration reste soumise cependant à une restriction importante; elle suppose évidemment la continuité des fonctions M et N, et par conséquent celle de la fonction ?(s)- S'il en était autrement le résultat ne serait plus exact, et l’intégrale
j ' p(a) d : pourrait changer de valeur. Si donc la courbe qui dirige l'intégration se
déforme d’une manière continue, l’intégrale reste, en général, invariable; mais il peut arriver qu'elle change brusquement de valeur si la fonction ç(i) devient infinie ou acquiert plusieurs valeurs égales pour une certaine valeur de z, lorsque la courbe le long de laquelle on intègre, en se déformant d’une manière continue, franchit le point qui correspond à cette valeur de z.
333. Le théorème précédent servant de hase à toute la théorie, il ne sera pas superflu d'en donner une seconde démonstration, qui conduira d'ailleurs à des conséquences un peu plus étendues.
