LIVRE PREMIER. - INTÉGRALES DÉFINIES ET INDÉFINIES

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et de signe contraire il la même intégrale prise le long du chemin H. MA . et par conséquent l'intégrale prise pour le contour entier ANBMA est égale h la différence des deux intégrales prises le long de ANB et de AMB; cette différence est donc égale à zéro et les deux intégrales sont égales, comme nous l'avions prouvé (334 .

337. Les deux démonstrations supposent essentiellement que, dans l’intérieur du contour considéré ou dans l’espace contenu entre les deux chemins qui dirigent l’intégration, la fonction ç si soit tinie et continue. Si celle condition n’est pas remplie, le théorème cesse d’être exact, ainsi que nous pouvons des à présent uous en assurer sur un exemple fort simple.

Soity(s)=^-

Calculons l'intégrale j autour d’un cercle de rayon B, ayant pour centre l’origine des coordonnées. C'est l'exemple choisi par Poisson '332).

Les coordonnées d’un point de ce cercle sont

x : H cosy, y R sin y;

et l’on a

j = x 4- r v — i = R cos y -t- y — i sin y ; , i/c — H f — sin y ■+• y — i cosy ) il y. il: </y 1 sin y + -y — i cosy' ^

1 ( cosy + y— i siny ,

Si l’on parcourt la circonférence de cercle dans le sens où les valeurs de y sont croissantes, y varie de zéro à a?r, et l’on a par conséquent

valeur différente de zéro, et le théorème démontré (335 ) se trouve en défaut, parce que la fonction - devient infinie pour z = o.

ano

338. Supposons en second lieu 9 ' z) = cl cherchons l’intégrale

En étendant l’intégration à la circonférence de cercle de rayon H. décrit de l’origine comme centre, on aura

z — R(ros^ -t- v'— i sin^), y s = v'K j^cos 2 -i- y/— i sin |

(h = K — sin o + y— i cosyji/s = R y — i cosa +■ y^— i sin 9) </a,

^ = ylî v ( cos ^ -s- y — -T sin ? ) d?.

I =y/R y’ — 1 ; sinr — a sino) — ay — 1 (cosi: — coso)j = — 4 y K;

et le théorème est ici en défaut, non plus parce que la fonction intégrée devient infinie, i\iais (I, 375) parce qu'elle n’est pas et ne peut pas être bien déterminée dans l'intérieur du contour.

330. Lorsque la fonction 9 :) n’est pas continue, finie et déterminée dans l'intérieur du contour considéré, on peut quelquefois la rendre telle en entourant chaque point critique d'un contour fermé, et. adjoignant alors la circonférence de chacun de ces contours à celle de la ligure primitive.

Soit par exemple le contour KMN, dans l’intérieur duquel se trouvent, pour

la fonction f'z). deux points critiques A et 11. Entourons ces points par les cou-

tours PQR, STL, et l'intégrale / 9';] dz, prise le long des trois contours KM N, PQR.

STE, parcourus dans le sens indiqué par les tiédies, sera dans le cas supposé égale à zéro. Il suffit, pour le démontrer, de réunir chacun des contours intérieurs à la circonférence KMN, par deux traits parallèles infiniment voisins a, fi,, a, fi„ y, .

I.IYHK l’IlEMIEIl. - INTfe;ilA!.ES DÉFINIES KT INDÉFINIES. 3UI

y.d,. On peut alors considérer le contour continu *, fi, PQR *,*»•/, tf, STU<?,ya M.N comme renfermant une portion déterminée du plan, dans l’intérieur de lai|uelle

ne se trouve aucun point critique. L’intégrale I ’j z ds, prise le long de ce ron»

tour, est donc égale il zéro; mais les éléments relatifs à a, jî,, y, <>,, thy, si* détruisent évidemment, et le théorème est par conséquent démontré.

340. Nous pouvons, dès à présent, justifier par les considérations précédentes quelques démonstrations dans lesquelles les intégrales imaginaires ont souvent été introduites sans examen sullisant.

Nous avons trouvé 133

(5» ‘ I * tr''dz=it?..

Si dans cette formule on pose

elle devient

c’cst-B-dire

eos?*.r — y — i siniaxj dx

et par conséquent

e~‘‘ cos a x x dx = er~*: y'r.

n~‘' si il a ax ilx = o.

Ces formules sont-elles sunisamincnt démontrées?

Pour nous en assurer, remarquons que supposer r = x -+- a y1— i , puis faire varier * de — » à ■+• x , c’est tout simplement faire mouvoir le point représenté par s. sur la parallèle à l’axe des X menée à la distance a; et qdYn admettant la transformation de l’intégrale f 5 . où z est réelle, en l’expression (6), nous

admettons simplement que l’intégrale j" c~l'd ; reste la même lorsque l’on dirige

l’intégration suivant l’une ou l’autre des lignes indéfinies — XX. — PP. Or il est clair que si l’on adjoint k ces lignes deux parallèles k l’axe des v, situées de part

cl d'autre à une distance infinie, on obtiendra un contour fermé, dans l'intérieur duquel la fonction e~‘ est continue et bien déterminée. L'intégrale totale relative à

ce contour est donc nulle, mais les portions relatives aux deux parallèles il l’axe des j sont évidemment nulles; car en posant

on a

r,.r,v-i = + < (eosur,^, - <J- 1 sina.r, j-,).

qui est évidemment nulle lorsque, j-, étant infini, y, est compris entre o et x. On peut donc dire que l'intégrale relative à — XX, ajoutée à celle relative à — PI*, donne une somme nulle, et que par conséquent les deux intégrales relatives à — XX et à — PP sont égales entre elles.