LIVRE PREMIER. - INTÉGRALES DÉFINIES ET INDÉFINIES

Cette démonstration manque évidemment de rigueur, est-il possible de la rendre exacte?

Remarquons, pour nous en assurer, qu'eu posant

z=x+xv

!— i — « | eos ^ -F- y — i sln ^ J >

x — ii cos ", ,

y — usin •!;

et par conséquent le point dont les coordonnées sont x et y déerit une ligne droite issue de l’origine, et inclinée à 45 degrés sur l'axe des X.

..JL,, j

Transformer l’intégrale (7) en (8), c’est donc admettre que l’intégrale prise le long de OP soit égale à celle prise le long de OX. Si du point O comme centre, avec un rayon infiniment grand, on décrit un arc de cercle PX, on verra (334) que l'intégrale prise le long de OPX est égale à celle prise le long de OX; car, pour tous les points du plan la fonction e~‘' est continue et bien déterminée. Or on a pour un point de PX, en nommant R le rayon OP,

j = x + i = Rf coso ■+■ v — 1 sin?),

g- ••. g — S' (eu. a -r -t- <f- I sili if}'

e— dt = K (cos? + sjll?)>

ef comme le produit Rc~R'cu',:lf est infiniment petit lorsque R devient infini, pour toutes les valeurs de ? comprises entre oet l’intégrale prise le long de XP est

nulle. La transformation se trouve donc légitime à cause de deux circonstances fortuites en quelque sorte, et auxquelles on n’aviril nullement songé en la faisant.

342 Considérons eu fi n la formule

fao

- VF

i*-' ch = T(n).

Nous avons pose (326)

et elle est devenue

(loi f a-*****-11* («4- fi yf— i )mu’-'da = !'(«),

c’est-à-dire, en posant

a = pcosD, P — psinS,

f*' (cosjiu — v^— i sin?n) b—' du =

rt»j

P* ( cosnS 4- v— •

d'où l’on a conclu

in)

e“*"C0Sj3 uu"~‘ du = e~"" shlj3u u*-1 du —

I’(n)rosn9 f ’ F ( n ) soi n 0

ou zi désigne un nombre positif quelconque entier ou fractionnaire. Pour savoir si la transformation est légitime, remarquons qu'en posant

t = x 4-r y' — * = (a 3 v — i ) u = pu (cos 6 4- y — i sinff).

le point dont les coordonnées sont x et y1 est assujetti à parcourir une ligne droite partant de l’origine, et faisant avec l’axe des X un angle 0.

Soit OP cette ligne. Notre transformation revient U admettre que l’intégrale prise le long de OP est égale à celle prise le long de OX; il sullit, comme dans le cas précédent, que l’intégrale prise le long d’un arc de cercle PX, de rayon infiniment grand, qui réunit les deux lignes soit égale à zéro; or sur les points de cet arc on a

x - It cos g 4- V — i sin ç , .

et la différentielle à intégrer contient le facteur e ~ 11 c"“ f qui la rend nulle lorsque R est infini, pourvu que 5, qui est la limite de f, soit inférieur à c'est-à-dire pourvu que a et /3 soient positifs.