LIVRE PREMIER. - INTÉGRALES DÉFÎMES ET INDÉFINIES

V ariation brusque d'une intégrale imaginaire.

343. Cherchons la variation de l'intégrale j'^[z)dz lorsque, les limites reslnnt

les mêmes, la courhc le long de laquelle on intègre franchit, en se déformant, un point auquel correspond pour <?{:) une valeur infinie. Soit A ce point; comparons

les valeurs de l’intégrale j ?(z)dz, prises successivement le long des contours PMQ,

P.M'Q. qui comprennent entre eux le point critique A.

Considérons les deux chemins PI Kl' Q cl PIKTQ, qui réunissent l’un cl l’autre les points extrêmes P et Q en présentanl deux parties communes PI, l'Q, el ne dillé-

rant l’un de l’autre qu’en ce que, dans le premier chemin res deux parties sont réunies parla demi-circonférence infiniment petite IKI’qui a son centre en A, et qui se trouve remplacée dans le second par l’autre moitié IKT de la même circonférence.

L’intégrale prise le long du chemin PMQ est la même que le long du chemin PIKI'Q, car le premier peut se déformer et coïncider avec le second sans traverser le point A. De même l’intégrale prise le long de P.M'Q est égale à celle qui correspond au chemin PIKTQ; la variation cherchée est donc la différence entre les valeurs de l'intégraleJ'ç(s)</j, prise le long des chemins PIKI'Q. PIKTQ. Ces deux chemins ont les parties communes PI. l’Q; si donc la fonction ?(î) ne change pas de forme quand on passe de l’un à l'autre, les deux intégrales ne diffèrent que par la substitution de la partie relative à IKT à celle relative à IKT; et comme les intégrales relatives à une même ligne parcourue dans les doux sens sont évidemment égales et de signes contraires, cette différence est la somme des valeurs de l'intégrale I ?(*)dz prise le long de ces deux demi-circonférences parcourues successivement dans le même sens, c'est-à-dire tout autour du cercle infiniment petit IKT K.

344. On peut, dans un cas très-général, calculer cette intégrale qui, d’après les explications qui précèdent, représente le changement brusque de lffz)dz.