x - 1- £ y'— i -t p ( cosy ■+• i sin ç
et pour faire décrire au point correspondant la circonférence du cercle, il faut faire varier f de zéro à as: l'intégrale est donc égale à
* P f — sin? -t- v’ — i cosç ) '.‘(cos O -h
- 1—1 coso , I /'**
Y Jn
i cos{/, —1)9 — y — 1 sin(/. — 1 j 9] 1/9.
Lorsque k est différent de l’unité, cette intégrale est nulle, mais, en supposant
LIVRE PREMIER. - INTÉGRALES DÉFÎMES ET INDÉFINIES. h= i, elle se réduit à
On a donc
A„, étant le coefficient de —
X'irt
y — 1 </? = aîT v' — '•
J 9 f î )r/z = arA„i y/— i
i dans le développement de la fonction * — * — ?V — i
?(s), c’est-à-dire (I, 434) le résidu de 'i(z) relatif à « 4- (5^—1.
Si le point qui représente z parcourait la circonférence en sens inverse, l'intégrale (i) sérail égale à — ait\ — i. Dans chaque application du théorème précédent, il faut tenir compte de cette remarque en examinant dans quel sens doit se faire l’intégration qui représente la différence cherchée.
345. Nous avons exclu, dans la démonstration précédente, le cas où le contour qui dirige l'intégration passe par l’un des points critiques pour lesquels la fonction est infinie. L'intégrale, dans ce cas, n'a pas en général de valeur déterminée, Cauchy y applique néanmoins scs théorèmes en remplaçant l'intégrale par la valeur qu’il a nommée (130; la valeur principale.
Soit O le point critique; la valeur principale de l’intégrale prise le long du contour POQ est, d’après la définition de Cauchy, la limite de la somme des deux
intégrales prises le long île l’I et le long de l'Q, lorsque les arcs égaux 10, 01' décroissent indéliniment. Elle diflerc donc de l'intégrale prise le long du contour l’ISIf'Q par l’intégrale prise sur la demi-circonférence IMF, c’est-à-dire (344; n\^ — i, moitié de la variation totale an A y’ — i, qui se produit quand le contour en se déformant traverse le point critique.
Détermination (le quelques intégrales définies.
340. Considérons, pour appliquer les résultats précédents, la différentielle
<-*■> 'itz T‘+Z> ’
où a désigne un nombre réel et positif.
Intégrons d'abord entre les limites : = — », ; = -t-», le long d'un cere.lc de
rayon infiniment graud ayant pour centre l'origine des coordonnées. Il faut poser
Z = .r -t-/^— I, x — Rcoso,
H sino,
et faire varier ç> de la valeur - à la valeur zéro. L’intégrale sera
^TT
o<.«Hco.yt/-.e-«RrinP |!vr; f OOS? -t- y/— , sill y ; f/ .
b' 4- R’fcosa? ■+■ y — 1 sinsç)
a étant positif ainsi que sinç, l’exponentielle e—"R,iBr devient nulle pour les valeurs infiniment grandes de R. Le module du produit des fractions qui le multiplient n’étant pas infini, l'intégrale est évidemment nulle.
L’intégrale prise pour les valeurs réelles de c'est-à-dire le long de l'axe des X, est égale par conséquent à l'intégrale prise autour du cercle infiniment petit décrit autour du point qui correspond à la valeur
pour laquelle la différentielle est infinie. Or on a
(a 4- — bf— ï )'
le résidu correspondant à la valeur b \ — 1 de z est ici
tr*
ib\'~ 1
I.IVBE l’HKMlfitt. - ISTfiCnAI.ES DÉFINIES ET INDEFINIES, el l'intégrale éjçalc (3-i-i) il anA \ — i est
On a donc
et, en
séparant dans le premier membre 1;
l'x msn:
C* sin a;
l.a seconde de ces Ibrfnules est évidente et la première a été démontrée (250 . 347. Considérons en second lieu la différentielle
on verra, comme dans le cas précédent, que a étant positif l’intégrale est nulle le long de .la demi-circonférence de rayon infiniment grand décrite de l'origine comme centre et du côté des y positifs. Si l’on intègre le long de l’axe des X, en remplaçant seulement par une demi-circonférence infiniment petite la partie qui contient le point critique placé à l'origine, on aura donc le même résultat, el l'on peut écrire
Jr
i ix = o.
ti
Remplaçons dans la première el la troisième intégrale «■"■'V-' par la valeur cosax -t- y'1— i sinar; remarquons que les deux intégrales réelles sont évidemment
égales et de signes contraires, et que — ~ n'étant pas infini avec a-, la supprcs-
/SI [1 flJT • #%• • •••
- dx le long du diamètre infiniment petit AB est insignifiante, et nous aurons
tlx
rh = O.
Mais pour les points du cercle AMB on peut écrire = i, et par consé-
quent 331 )
donc enfin
comme il a été précédemment trouvé.
348. La méthode précédente, qui est extrêmement féconde, constitue une des belles découvertes de Cauchy. Donnons-cn encore une application.
jO-l ,/j
Considérons la différentielle — a désignant un nombre positif moindre que l'unité. La valeur initiale de s étant réelle et infiniment grande — R; prenons
(— R = R*-1 f cos{ n — 1 5 TT -H - 1 sin(a — i)irj,
R*-1 étant réel. Si le contour suivi ne pénètre pas au-dessous de l'axe des .r, ou verra aisément que, pour les valeurs réelles et positives de z, s*-' sera réel.
L’intégrale prise le long de la demi-circonférence de rayon infiniment grand R sera, celte fois encore, égale à zéro.
La différentielle présente deux points critiques qui correspondent à a = — i et à 2 = o, mais il nous sera inutile d'avoir égard au second qui ne sera pas franchi, parce que l'intégrale relative à un demi-cercle infiniment petit qui serait décrit autour de lui pour l’éviter est évidemment infiniment petite. Le demi-cercle de rayon infini peut donc èlre réduit à l’axe des X, dont une portion infiniment petite seulement sera remplacée par un demi-cercle décrit autour du point dont l'abscisse est — i .
