LIYKK PREMIER. - INTÉGRALES DÉFINIES ET INDÉFINIES

dont nous voulons compter les racines et <|tic nous supposerons seulement bien déterminée, finie et continue ainsi que sa dérivée pour toute valeur de s. Les seuls

points pour lesquels la (onction p— ‘ peut devenir infinie sont ceux qui correspondent aux racines de F(a) =o, et réciproquement à chaque racine correspond un tel point. Soit en effet s = a -+- p y— i une racine de degré de multiplicité p, c'est-à-dire supposons que l'on ait

o [z) étant une fonction finie et continue, ainsi que sa dérivée, pour la valeur z = a ■+- jî y' — i , nous aurons

p< z — a — pj— i/-' 9 2 : + (2- a — 3 y'-i)'’ 9'is ,

et, en divisant le premier membre par F(îj et le second par le produit qui lui est égal.

Vu) 2 - * - 3 v-7 ?

Pour calculer l'intégrale autour d'un cercle infiniment petit ayant pour centre le point qui correspond à z = « -t- (9 y — i , on peut négliger la fonction qui

est finie, et l’intégrale est par conséquent (344) égale à a np y — i ; hi somme des intégrales prises le long des petits cercles qui entourent les points correspondants aux racines est par conséquent égale au produit de as yV i par 1e nombre total des racines, dans lequel la racine de degré de multiplicité p est comptée p fois; et par conséquent enfin le nombre des racines correspondant à des points intérieurs au coutour est représenté par

l’intégrale étant prise le long du contour MNP.

Pour faire usage de ce théorème très-remarquable dû à t-nichy. il nous reste à examiner le moyen de calculer cette intégrale.

On a •

cl en posant