IV

IV z)

-/{P’ + Q + y — i arctaogy-

Le terme ^ /(P* 4- Q’) étant bien détermine pour chaque point du contour, et

reprenant la même valeur après un tour accompli, donnera évidemment zéro pour résultat. Pour calculer la portion de l'intégrale qui correspond au terme

V — i are tan g . partageons le contour total en un certain nombre d’arcs dans l'intérieur de chacun desquels ^ ne devienne pas infini, en prenant pour points de

division ceux pour lesquels on a Q = o. dans chacun de ces intervalles, passera de 4- ao à 4- oc , de — » à — » , de - » à + œ ou d« + x à — oo ; dans les deux premiers cas, l'accroissement de arc tang - est évidemment nul; il est - dans

le troisième et — n dans le quatrième. La moitié de l’excès du nombre des arcs de la troisième espèce sur ceux de la quatrième représente donc le nombre des racines.

350. Supposons, par exemple, que le contour soit un cercle de rayon infiniment grand p décrit de l’origine comme centre, et soit

Fi j) = a"-+- A, a*— '4- A, . .4- A»,

A,, A,, \„ étant des constantes réelles.

(In a

P = p'cosmw 4- A,p““'cos ni — i|U+...+ A.i Q = p“*in«iftt 4- A, p*-' sin(«i — i)m -h. . A.-.psinu,

cl p étant infiniment grand, les deux seconds membres peuvent être réduits à leurs premiers termes, et par conséquent Q est nul pour les valeurs de w infiniment

peu différentes de o, -■>*-»•••, -* — - jt,. . . , — — Jt ; et l’on a ainsi a m inter-

* ni n i m m

valles dans chacun desquels passe de — ac à 4- * . Le nombre des racines est par conséquent égal à m.

Intégrales des fonctions susceptibles de plusieurs valeurs.

351. Les différentielles considérées dans les exemples précédents n’avaient qu'une seule valeur possible pour chaque valeur de la variable, et lorsque le chemin qui règle l'intégration en se déformant d’une manière continue franchit un point critique, la variation de l'intégrale, due tout entière aux cléments qui dans