LIVRE PREMIER. - INTÉGRALES DÉFINIES ET INDÉFINIES. 3IS

un intervalle infiniment petit uni acquis une valeur infinie, est égale (344) à l'intégrale relative h un cercle infiniment petit décrit autour du point. Mais les choses, dans certains cas, se passent tout autrement. Soit l'intégrale

les limites a et b correspondant aux points P et Q. Supposons que la courbe le long de laquelle on intègre traverse en se déformant un des points critiques relatifs à la fonction 9 (s), et cherchons quelle variation en résultera pour l’intégrale.

Le problème est très-différent de celui qui a été résolu (344). La valeur de <flz) n'étant plus pour chaque valeur de ; unique cl indépendante de la route suivie par le point qui représente z, une cause nouvelle de changement se produit pour altérer bien plus profondément le résultat. Dans le cas traité (344 , l’intégrale

pouvait, par un choix nouveau de la courbe le long de laquelle se fait l’intégration, recevoir un accroissement constant dont nous avons calculé l’expression, mais la forme de la fonrlion reste, à cela près, toujours la même. Les éléments des intégrales correspondant à deux contours voisins diffèrent infiniment peu les uns des autres, et si les contours, après s'être séparés, se réunissent dans une portion de leur cours, les éléments relatifs à la portion commune sont les mêmes dans les deux cas. Il en est tout autrement dans l'hypothèse actuelle. Si l'on considère deux contours infiniment voisins, tels que PMINQ, P.Ml'NQ, comprenant entre

>■ s > T fl

eux le point'erilique A, les deux intégrales, identiques pour la portion qui correspond à PM, different non-seulement parce que dans l'une les éléments relatifs au contour MIN remplacent ceux qui dans l’autre sont relatifs à Ml 'N, mais encore parce que, entre les points N et Q, les valeurs de la différentielle f[z)dz sont, dans les deux cas, très-différentes.

352. Considérons, par exemple, l’intégrale j \ 1 — z3 dz, et soit A le point critique correspondant à s = 1, pour lequel les deux valeurs de la fonction \ 1 — z’

mil' XI KM K PARTIR. - calcul intégral.

sont égales et peuvent se changer l'une dans l'autre. Soit B le point correspondant

à : = a, et considérons les deux intégrales relatives aux deux contours OPIQB, OPI'QB; elles ont la partie commune

Mais il résulte des explications données (I, 373) cju’en suivant à partir de P les deux chemins PIQ et PI'Q polir parvenir en Q, on y trouvera pour le radical deux valeurs égales et de signes contraires, en sorte que l’intégrale

v i - z' tlz ,

Jot)

qui forme la partie imaginaire des deux expressions considérées, aura dans l’une et dans l’autre des valeurs égales et de signes contraires. Quant aux portions relatives aux contours PIQ, PI'Q, elles sont infiniment petites et négligeables si le cercle PIQ1' est infiniment petit.

353. Pour étudier les valeurs diverses de l’intégrale / <?(zd: dans le cas où

Jn

la fonction ? (s) est mal déterminée, M. Puiscux a proposé une classification ingénieuse et fort utile des divers chemins qui, entre les deux points qui représentent les limites a et z, peuvent donner lieu à des intégrales distinctes.

Soient A et Z les points extrêmes qui représentent les limites de l’intégrale et C,, C3 C„ les points critiques dont la rencontre peut faire naître un change-

ment dans l’intégrale, lorsque le contour qui réunit A à Z franchit l’un d’entre eux en se déformant. M. Puiscux nomme contour élémentaire le contour parcouru par un point qui, partant de A, se dirige vers un des points critiques, décrit autour de lui un cercle infiniment petit, et revient en A en suivant la ligne qui l’a amené. Il est aisé de voir que tout contour commençant en A et finissant en Z peut être remplacé par la réunion de plusieurs contours élémentaires successivement parcourus, auxquels on adjoindra, pour terminer, la droite OZ. et qu’une telle substitution peut se faire sans qu’il en résulte de changement pour l'intégrale.

UVnE PREMIER. - INTÉGRALES DÉFÎMES ET INDÉFINIES.

Considérons en effet un fil flexible dont une extrémité soit fixée en A, et qui, plié suivant la ligne qui dirige l'intégration, aille passer dans un anneau placé eu Z. On peut, on le sait, changer la forme de ce fil sans altérer l'intégrale, pourvu que, conservant les memes extrémités A et Z, il ne franchisse en se déformant aucun des points critiques. On peut aussi adjoindre au chemin considéré, quel qu'il soit, un chemin quelconque deux fois parcouru en sens opposé partant de l’un quelconque des points du contour et y revenant, pounu qu'il introduise dans l’in- * tégrale des éléments qui se détruisent deux à deux.

Ceci étant rappelé, supposons que l'on implante sur chacun des points critiques

C,, C C„ une tige matérielle qui empêche le fil de la franchir, cl que l’on tire

ensuite celui-ci à travers l'anneau Z, de manière à le raccourcir autant que possible en le réduisant à une série de lignes droites réunissant les points critiques ou seulement quelques-uns d’entre eux, autour desquels il pourra faire un nombre quelconque de circonvolutions. Supposons qu’à partir de A le chemin ainsi réduit se dirige d'abord vers le point critique C, ; deux cas peuvent se présenter : ou il s'appuie sur lui simplement, ou bien, avant de le quitter, il fait autour de lui un ou plusieurs tours. Dans le premier cas, le chemin ayant la forme AC, C, peut être

remplacé par un contour élémentaire décrit autour du point C,, suivi d’un chemin direct dirigé vers C, et laissant C, à sa gauche. Si le fil avant de quitter C, fait autour de lui n circonvolutions, on peut remplacer la portion AC,C, par n -t- i contours élémentaires, suivis d’un chemin direct qui va de A vers C, en laissant C, à sa gauche. Et j'entends par là que ces deux chemins peuvent être réduits l’un à l’autre, comme l’on s'en assure à la simple vue, sans qu’il y ail nécessité de faire franchir à l’un d’eux, en le déformant d'une manière continue, aucun des points critiques C, et C,, et en évitant, bien entendu, la rencontre des autres points critiques qui peuvent se trouver sur le plan.

Le fil, sc dirigeant ensuite vers un troisième point C,, pourra être remplacé de même, dans la portion AC,C,, par un certain nombre de contours élémentaires décrits autour de Cît suivi d'une ligne sc rendant directement vers C, et laissant C, et C, à la gauche, sans comprendre entre elle et AC,C9Cj aucun autre point critique.

L’application répétée de cette méthode permettra, comme on l’a annoncé, de remplacer le chemin proposé, quel qu'il soit, par une série de contours élémentaires auxquels on adjoindra un dernier chemin allant directement de A en Z.

35t. Suivons les conséquences des considérations précédentes dans l’élude de l’intégrale

I — = arc suie.

Admettons que pour la valeur initiale s = o on prenne y'i-s'sfi; si, * partant de l’origine des coordonnées, le point qui représente z suit une courlte donnée quelconque, les valeurs successives des radicaux sont déterminées (I, 373) par la loi de continuité. Les points critiques correspondent ici aux valeurs z = ± i et sont tous deux situés sur l’axe des X de part et d’autre de l’origine.

— -/tS /7\

Les contours élémentaires sont AIKIIA et AGLG’GA. Lin eliemin quelconque partant de A et se terminant en Z peut être remplacé par une série de contours élémentaires successivement parcourus, auxquels on adjoint, pour terminer, la droite AZ. Lorsque, partant du point A, en adoptant pour le radical la valeur -t- i , le point qui représente z parcourt la droite AI, si l’on nomme e le rayon de cercle C,I, la valeur du radical lorsqu'on arrive en I est évidemment -t- y'i — e- : mais quand en faisant tourner le point directeur autour du petit cercle on l'aura ramené en I, le radical aura pris la valeur — y/ 1 — s1. On a, en effet,

yG — a’ = y t — 2 t/i + ;j

les deux valeurs de y i ■+■ a n’étant pas infiniment voisines ne peuvent évidemment pas s’échanger l’une dans l’autre par suite du chemin infiniment petit qui a été parcouru: mais celles de yi — s au contraire s’échangent à la suite de la rotation du point qui représente z autour du point critique G,. Le point directeur partant de I pour revenir en A et achever le contour élémentaire, le radical ayant pour valeur initiale — y r — e* et variant d'une manière continue, sera constamment négatif et aura pris, lors du retour en A, la valeur — i , égale et de signe contraire à celle qu’il avait au départ. Le parcours du contour élémentaire correspondant au point C» change également et pour les mêmes raisons lo signe de la fonction. Il résulte de là qu'un même contour, parcouru successivement un nombre pair de fois, n’amènera dans l’intégrale que des éléments qui se détruisent deux à deux,