LIVRE PREMIER. - INTÉGRALES DÉFÎMES ET INDÉFINIES

et comme la fonction -retrouvera en A la valeur primitive, les autres éléments resteront les memes et ces contours élémentaires pourront être supprimés.

Dans le chemin le long duquel on intègre, on doit, d’après cela, supposer que les deux chemins élémentaires soient toujours alternativement parcourus, chacun d’eux pouvant l’être un nombre quelconque de fois, mais jamais deux fois de suite.

Cherchons la portion de l’intégrale relative à l'uu de ces contours. La portion relative à Ai est évidemment

arcsin(i — s — arcsino;

elle diffère infiniment peu de celle qui se rapporte au contour du cercle infiniment petit est elle-même infiniment petite. On a, en effet, pour un point de cercle

; = i + s (cos? •+■ v — i sinç), i/î = « y — i rf? (cos? -t- y1— i sin?),

/’ ilz Ç"* 1 (cos? -r vf— i sin?) J

J t/1 — *’ J—w y [a + e(cos? ■+■ \l— i sin?)] (— e) (cos? -+- y— i sinç)

et l’on voit que l’élément de l’intégrale contient v'î en facteur.

L'intégrale relative à IA est égale enfin ‘a celle qui se rapporte à AI et de mémo

signe, puisque les facteurs dz et -^=== changent de signe en même temps quand

on passe de l’une des intégrales à l’autre.

L’intégrale relative au premier contour élémentaire est, d'après cela, égale à n, lorsque la valeur initiale du radical est -t- i; elle serait — n dans le cas contraire. L'intégrale relative au second contour est — n daus le premier cas et -+- n dans le second.

Cela posé, si l'on commence à faire parcourir, au point qui représente z, n fois chacun des deux contours élémentaires, en passant alternativement de l’un à l’autre, l’intégrale relative à l’un de ces contours sera ± vmr, selon qu’on aura commencé par celui de droite on par celui de gauche; et si l’on prend n -+- t fois le premier et n fois seulement le seeond, elle sera ± ( a n ■+- i ) n. En nommant u l'intégrale prise le long de AZ, lorsque la valeur initiale du radical est -t- i, et — «, par conséquent, lorsque celte valeur est — i, ce qui aura lieu après le parcours de 2/1 -l- 1 contours, les valeurs que peut prendre l'intégrale sont

±(l« + l)lt — H,

3â0 DEUXIÈME PARTIE. - CALCUL INTÉGRAI..

ce qui est précisément l'expression générale îles arcs, dont le sinus est égal il sinu.