Considérons eu second lieu la fonction

“ = \[z~— <tj(ï — ê)(* — cj,

a, b, r étant trois constantes correspondant aux points A, B, C du plan.

•Nous supposerons encore deux plans superposés dont les points correspondants sont considérés comme entièrement séparés. Ün suppose de plus une ligne arbi-

traire allant de À en B, puis de B en C, et se prolongeant indéfiniment à partir de C. Commençons par étudier les valeurs de la fonction u, lorsque le point qui représente z parcourt un des deux plans sans franchir cette ligne ABCK. Comme il est impossible, en s'imposant celte restriction, de décrire un contour qui enve-

DEUXIÈME PARTIE. - CALCUL INTÉGRAL, loppe un des points critiques A, U, C, les chemins possibles pour parvenir d'un point donné à un autre sont tous équivalents, et en prenant en un point arbitraire de l’un des deux plans une valeur déterminée de u et la valeur égale cl «le signe contraire pour le point superposé, on aura pour chaque point de chaque plan une valeur unique et déterminée de la fonction, les valeurs qui correspondent aux points superposés étant évidemment toujours inégales. H est aisé de voir de' plus, d'après les explications données (350), que, pour un même plan, les valeurs relatives à deux points infiniment voisins situés de part et d’autre de la ligne de séparation sont égales et de signes contraires sur AB, «‘gales au contraire et de même signe sur B(’., et égales cl de signe contraire au delà «le C. Si deux chemins partant «le M conduisent par exemple, l'un en G, l’autre en G' sans quitter l’un des plans, et par conséquent sans franchir ABCK, ils ne peuvent faire prendre à la fonction des valeurs infiniment voisines, car sans cela, en parlant de M, suivant le premier contour pour arriver en G. puis passant directement en G' et revenant en M par le second contour, on y retrouverait la valeur primitive, ce qui ne doit pas être puisque le contour fermé enveloppe le seul point critique A et l’enveloppe une seule fois. Des considérations toutes semblables montrent que la continuité n’est pas rompue le long de BC et qu’elle l’est au delà de C.

Nous admettrons d’après cela que nos deux plans sont réunis et comme soudés l’un à l’autre, en se croisant en quehjuc sorte le long des lignes AB et CK, de telle sorte qu’on ne puisse traverser une de ces lignes en se mouvant sur l’un des plans sans passer sur l’autre au moment où on la franchit. Grâce à cette convention, on peut considérer la fonction u comme représentée sur ce double plan, de telle façon qu’à chaque point de la double surface corresponde une valeur de u et une seule, et qu’un mouvement quelconque d’un point sur le plan, dans lequel il passe d’une surface à l’autre, quand nos conventions l'exigent, lui fasse trouver pour la fonction u une série «le valeurs qui soient toujours celles qu’on doit adopter pour respecter la continuité.

358. La méthode de Riemann suppose, on le voit, que pour chaque fonction on détermine préalablement le nombre des valeurs dont elle est susceptible en chaque point, pour concevoir un nombre égal de feuilles superposées sur lesquelles on le représente,en établissant entre elles «les soudures qui, lorsqu'on les rencontre, forcent à passer d’une feuille sur l’autre suivant «les règles «|u’il faut assigner chaque fois et dont l’étude de 1a fonction, faite suivant les principes de Cauchy, rendra la recherche facile.

Considérons par exemple la fonction