LIVRE PREMIER. - INTEGRALES DÉFINIES ET INDÉFINIES. 3SS

qui, pour chaque valeur «le s, a trois valeurs distinctes u,, au,, a *«,, K étant la racine cubique de l'unité; il faut, pour la représenter, concevoir trois feuillets superposés. Soient A et li les points qui correspondent à z — a et z = h, et que Cauch v nomme les /toints critiques ; on suppose une ligne ABK de direction et de forme arbitraire allant de A en B et s’étendant ensuite de B jusqu'il l'infini.

e- ir

Si l'on s'interdit d’abord de franchir cette ligne, on ne pourra tourner autour d’aucun des deux points critiques; toutes les routes qui réunissent lieux points sur une même feuille sont par conséquent équivalentes, et en se donnant par conséquent en trois points superposés choisis comme on voudra les valeurs u„, au0, a' u0 que l’on veut adopter pour chacun d'eux; les valeurs correspondantes h un point quelconque de l'une quelconque des feuilles seront déterminées sans ambiguïté et, en chaque point, ces trois valeurs pourront être représentées dans le même ordre par u,, au,, a3«,. Considérons deux points voisins G et G' situés de part et d’autre de AB et soient en G sur les trois feuilles u, au, a3u les valeurs de la fonction u, les valeurs en G' devront, pour chaque surlace, être multipliées par a et seront au, a1 u et u. Il est clair en effet qu’en partant du point initial G pour aller en G' sans traverser ABK, on tourne autour du point critique A (en négligeant l’espace infiniment petit GG'), et il est aisé de voir que celle rotation, que l’on peut remplacer par un cercle infiniment petit, décrit autour de A, multiplie par a la valeur de u. On verra de môme que pour passer de H à H' il faut tourner autour des deux points critiques et que la fonction reprend la même valeur sur une même surface. La soudure doit donc être établie le long de AB seulement, et de telle sorte qu’en traversant AB on soit forcé de passer de la surface i à la surface 3, de la surface 3 à la surface a, et vice versâ. Cela étant convenu, et h chaque point d’une même surface correspondant une seule valeur de u, la fonction sera complètement représentée, et en suivant un chemin quelconque à l’origine duquel correspond une valeur représentée sur celle des surfaces où l’on se trouve, on se trouvera toujours en chaque point sur celle des trois surfaces à laquelle est attachée la valeur convenable de la fonction.

359. Lorsqu’une fonction se trouve ainsi représentée sans ambiguïté h l’aide des feuilles superposées de Ricmann et des soudures suivant lesquelles elles se croisent et se réunissent mutuellement, la fonction peut être considérée comme n’ayant plus qu’une seule valeur, et il n’en correspond en effet qu’une seule à chaque point de l'ensemble des feuilles sur lesquelles elle est représentée. L'intégration dans ce cas peut cependant ramener les valeurs multiples et une ambiguïté

ïîili DEUXIÈME PARTIE. - CALCUL INTÉGRAL,

nouvelle que Riemann Fuit disparaître par une décomposition ingénieuse de surfaces qui forme un des points essentiels de sa théorie.

Il faut d'abord établir un leinnve important sur lequel la méthode est fondée.

On a vu (335 j que si une fonction ?(*) est continue, finie et bien déterminée ainsi que la dérivée pour les valeurs de a qui correspondent aux points intérieurs à un contour fermé, l'intégrale

prise tout autour de ce contour est égale à zéro. I.e théorème est vrai pour un contour tracé sur les feuillets juxtaposés de Riemann et pouvant appartenir à plusieurs feuilles différentes, pourvu qu'il contienne dans son intérieur une portion finie cl déterminée de surface, telle que par aucune route suivie conformément aux conventions adoptées sur la manière de passer d'une surface à l’autre, un point placé dans l'intérieur ne puisse en sortir sans traverser le contour. Celte condition demande qu'on l'éclaircisse par un exemple.

Supposons que la fonction considérée soit y i — =*; elle sera représentée, sur deux feuilles réunies et croisées suivant la ligne AU qui joint le point critique — i au point critique -+- 1 .

Le contour MNPQ situé sur l'une des deux feuilles ne doit pas être considéré comme fermé parce que, en partant du point K situé dans son intérieur, on peut aller trouver la soudure AB en un point I, la traverser, passer sur l'autre feuille et s'éloigner indéfiniment sans rencontrer MNPQ.

La démonstration du théorème est toute semblable il celle qui a été donnée (335J. Soit

et

ç( i)rfï = (P ■+■ Q i ) 1 ilx +■ Jy y — i ) = Vdx — Qrf|‘+ 1 (Qdx 4- P </*•); les intégrales

étendues à tous les éléments de la surface considérée sont évidemment nulles.

LIVRE PREMIER. - INTÉGRALES DÉFINIES ET INDÉFINIES puisque (I, 364, l’on a

dy dx

dQ d P

dy dx

Mais en partageant la surface en bandes parallèles à l’axe des X correspondant sur les divers feuillets aux valeurs de y convenables pour qu’aucun élément ne soit oublié, on aura, en nommant sur l’un des feuillets l,, kIt k„ kt les intersections de l’une de ces bandes, soit avec la portion de contour qui y est située, soit avec les soudures,

i I !u dxi?'~ I dr I di dx— I d.y (Q« - Q> + 0»— 0. .

et, en laissant de côté les éléments qui se rapportent aux points situés dans les soudures, cette intégrale (335) équivaut à f'Qdy étendue au contour entier. Quant aux éléments négligés, ils se détruisent deux à deux, car chaque point de soudure se trouvant à In réunion des deux feuillets, s’il termine la portion de parallèle à l’axe des X située sur l’un des feuillets dans l’intérieur de la ligne considérée il sera le point de départ de celle qui appartient à l’autre feuillet, et 1rs deux éléments relatifs à ce point figureront par conséquent avec des signes contraires. Quant à la valeur de Q, elle est la même sur les detix feuillets des deux côtés de la soudure qui a été établie précisément pour que cette condition soit remplie relativement à la fonction ?(s) ou P -t- Q v'— «•

La même démonstration s'appliquera comme f 335 j aux trois intégrales

JS%dxâr' Jfw'lx,,r' Jls**

et l’on verra que l’expression

ffdxdr [fy + 2) + 't-\ffdl,t-'Xddy- - Tx)

peut se réduire à

Ç Pdx — Qdy -ey— i ÇiPdy+Qdx : d:,

étendue au contour entier et que celte intégrale, comme nous l’avions annoncé, a par conséquent une valeur nulle.

360. Si deux points A et B situés sur un même feuillet ou sur des feuillets différents sont réunis par deux chemins différents, formant à eux deux un contour

fermé comprenant enlri* eux une portion déterminée et finie de surface, l'intégrale relative à ce contour sera nulle, et par conséquent on verra comme (336) que l’intégrale I v(z)dz a la même valeur pour les deux chemins.

Cela posé, la méthode de Riemann consiste à établir sur l'ensemble des feuillets des coupures ou barrières infranchissables et telles, qu’en les respectant deux chemins quelconques qui réunissent entre eux deux points donnés forment un contour fermé contenant dans son intérieur une portion finie de surface. L'intégrale

I f[s)d; devient alors complètement déterminée et a, pour chaque valeur de z,

une valeur unique.

Considérons par exemple la fonction '■ On sait que l’intégrale j" est mal

déterminée et admet, lorsque ; est donné, une infinité de valeurs différentes. Ces valeurs multiples, comme nous l’avons exposé, sont dans l’essence de la fonction logarithmique, et il ne faut pas songer à les faire disparaitre : Kiemann parvient seulement à les séparer nettement les unes des autres. Concevons pour cela, dans le plan unique dont les points représentent les valeurs de une coupure 01* partant du

point 0 et s'étendant indéfiniment dans un seul sens et dans une direction d’ailleurs arbitraire. Cette coupure sera considérée comme infranchissable, de telle sorte que les points M, et M,, quelque rapprochés qu'ils soient géométriquement, ne seront plus considérés comme voisins et qu’aucun chemin ne pourra plus traverser OP.

Aucun chemin dès lors ne pourra envelopper le point 0, et l'intégrale / --

aura eu chaque point du plan une valeur unique et déterminée. Celle valeur sera différente pour les points M, et M„ ce qui n’empéehe pas la continuité, puisque ces points ne sont plus voisins. Il résulte des explications données (337) que la différence de ces valeurs, égale à l'intégrale prise le long d'un contour qui, partant du point M|t aboutit en M, sans avoir franchi la coupure, est any — i. L’interdiction de franchir la coupure, ayant d'ailleurs été imposée arbitrairement, en peut considérer ensuite les intégrales relatives â des contours quelconques qui en sont affranchis, et l’on voit aisément qu'à chaque fois qu’on la traverse il faut ajouter ou retrancher as \ — i au résultat que l’on aurait obtenu si depuis le dernier pas-