LIVRE PREMIER. - INTÉGRALES DÉFINIES ET INDÉFINIES. 3Î

sage on l’eût constamment respectée. La fonction Iz peut de cette manière être augmentée, pour une même valeur de d’un multiple quelconque de tn \ — i .

361. Considérons en second lieu la fonction 1 > représentée, suivant la mé-

tbode de Ricmann, sur une double feuille dont les deux parties sont soudées suivant la ligne PQ qui joint les deux points qui correspondent aux valeurs s= i, î=— i, de telle sorte qu'on ne puisse traverser cette ligne sans passer d’une feuille sur l’autre.

L’intégrale j *— n’est pas déterminée, et en un point donné de l’une des

deux feuilles, quoique le radical Vi — -1 n’ait plus rien d’arbitraire, l’intégrale dépend du contour suivi pour la calculer. Deux contours partant de O et aboutissant en un même point de la même feuille ne renfermeront pas en effet (35!)) uno portion déterminée de surface. C’est encore à l’aide d’une coupure que Riemann

ramène l’intégrale J avoir une valeur unique et déterminée pour chaque

valeur de s correspondant k un point donné de l’une des feuilles.

Convenons de dessiner en traits pleins les lignes tracées sur la feuille supérieure et de ponctuer celles qui appartiennent k la feuille inférieure. Supposons qu’un

cercle, dont les dimensions doivent croître indéfiniment, limite sur l’une cl l’autre feuille les points que nous voulons considérer. Ricmann suppose dans l’ensemble des deux feuilles une coupure représentée sur la ligure par GKH, GK séparant es deux parties de la feuille supérieure par une barrière infranchissable, et 1IK remplissant le même rôle sur la feuille inférieure; il devient impossible, en respectant cette coupure, de tracer sur les deux surfaces un contour fermé qui ne renferme I. Catc. int . /|3

pas dans son intérieur une portion déterminée du double plan, et le long duquel

par conséquent l’intégrale ne soit pas nulle. La

fonction I

acquiert alors

une valeur déterminée et, quelles que soient les deux routes suivies sur la double feuille, en respectant la coupure, pour unir le point i au point 2, les deux intégrales auront la même valeur puisque l'intégrale prise le long du contour, qui est nulle, est égale à leur différence. Les points tels que M, et M2 situés de part et d’autre de la coupure, quelque rapprochés qu'ils soient géométriquement sur la même feuille, ne sont plus considérés comme infiniment voisins, et l'intégrale qui se rapporte au point M, est autre que celle qui se rapporte au point Ma. Leur différence est évidemment l’intégrale prise le long d’un contour qui partant de M, aboutit en M, sans franchir les coupures, comme serait par exemple M, R Ma: l'intégrale prise le long d'un tel chemin est (354) égale à ait, et les valeurs de l'intégrale en M, et en M, diffèrent de 21t. en sorte que si l’on supprime les restrictions, on doit ajouter à l'intégrale autant de fois ait que la coupure GK aura été franchie de fois.

Nous n’insisterons pas davantage sur cette théorie de Kiemann qui, nous devons le dire, a servi déjà de base à de très-importantes recherches. La notion des contours élémentaires nous parait présenter plus de netteté, cl le choix seul et la justification du système de coupures à adopter dans chaque cas peuvent présenter des difficultés laissées jusqu'ici à la charge de celui qui voudra tenter une application nouvelle.