CALCUL NUMERIQUE DE LA VALEUR APPROCHÉE DUNE INTÉGRALE DÉFINIE

Méthode des trapèzes.

302. Lorsqu’il n’est pas possible de déterminer exactement la valeur d’une intégrale définie, on doit recourir à des méthodes d'approximation pour en calculer la valeur approchée. C'est à l’exposition de ces méthodes que nous consacrons ce chapitre.

Une intégrale définie

I 9 (x)itx J n

représente faire comprise entre l’axe des y, la courbe dont l’équation en coordonnées rectangulaires est y — -({x), et les ordonnées qui correspondent aux abscisses a et h. Pour évaluer cette aire approximativement, on peut d'abord substituer à la courbe un polygone inscrit et remplacer la surface cherchée par une somme de trapèzes.

Supposons que l’on partage l'intervalle b — a en n parties égales, et que par les points de division on élève les ordonnées y,, y-,, ... , v„,; la somme des trapèzes, dont les ordonuées sont les côtés, sera, en nommant /„ et y„ les deux ordonnées extrêmes,

( 0 -jjp (y. + v’-' ■+■ r- ).

et celle formule donnera une valeur d'autant plus approchée que le nombre n sera plus grand.

Méthode d' interpolation de Cotes.

363. La connaissance des ordonnées y„, y permet, en général, d'obtenir

un résultat plus approché que le précédent. En substituant à la fonction f{x) une fonction entière de x qui coïncide avec elle po.ur toutes les valeurs calculées, ces valeurs étant au nombre de n -+• i, la fonction nodvelle sera de degré n. On

l’intégrera aisément; et si n est suffisamment grand, l’erreur commise sera le plus souvent extrêmement petite.

Les calculs auxquels donne fieu la méthode précédente peuvent être notablement simplifiés par la détermination préalable des résultats communs à tous les cas et leur réduction en formule.

On peut d'abord, quelle que soit l’intégrale, ramener les limites aux valeurs fixes zéro et i . Soit, en effet,

En posant

aux limites a et b de x correspondront les limites zéro et i de t.

Celte transformation n’est pas applicable, il est vrai, quand l’une des limites est infinie, mais on peut la remplacer par une infinité d’autres qui conduiront au même but. Si l’intégrale proposée est

/ ?(x )dx,

on pourra poser e--' = j, et aux limites zéro et x de x correspondent les limites i . et zéro de v. S’il s’agit d’une intégrale de la forme

dx,

on pourra la partager en deux autres

f <?(x)dx+l f{x)dx,

J— ta J o

puis poser dans la première e* = y, et dans la seconde e -* = z. Occupons-nous donc seulement de l’intégrale

dx.

Soient y», y,. .... y„ les valeurs que prend la fonction /{x quand on y suppose

•l- — O , «2* —— “ y JC — — JC — — — ■* t JC — — I .

Si l’on pose

nx(nx — i). . . ( nx — n)

nx — p