Prenons pour second exemple l'intégrale

Je *-*-*' »

En appliquant la méthode des trapèzes dans l'hypothèse de n — 10, on trouve pour valeur approchée

et l'erreur commence à la troisième décimale.

Si l'on emploie la méthode de Cotes, en faisant seulement n — 5, on a

A3?(|)=°»oS99984»

avec trois décimales exactes.

366. On peut d’ailleurs indiquer d'une manière générale l’ordre de grandeur (fe l'erreur commise dans chaque cas.

Supposons, en effet, que la fonction ÿ(-r) soit développable en série convergente

Si l’on calcule les valeurs de f (x) correspondantes à x = 0, x = *=

jc — 1, et qu’on applique ensuite la méthode de Cotes à la détermination de l’in-

tégralc

f <fl x)dx, Jo

le résultat sera évidemment le même que si l'on avait appliqué successivement celte méthode à chacune des intégrales

Ja.dx, I a, xilx,. . , I z,x“dx, I a„, x“+' dx, . . . ,

pout*ajouler ensuite les résultats obtenus. Or les n ■+■ i premières intégrales seront ainsi calculées sans aucune erreur. On sait en effet que la méthode d'interpolation au moyen de laquelle on substitue à une fonction donnée un polynôme de degré n donne identiquement la fonction proposée elle-même toutes les fois que celle-ci est entière et de degré inférieur à n-t-i; l'erreur commise sera donc la somme des erreurs commises dans l'évaluation des intégrales

f (t,+,x"~'dx, f ■ ■ ,

et elles sont respectivement égales aux produits des coefficients aM+1, a„+ des nombres invariables que l'on peut calculer une fois pour toutes. Soit e

commise dans l'évaluation de f x"+' dx , on trouve

. . par erreur

pour n = i ,

pour n — 2, pour ti~3, pour zi = /|f pour 7i = 5, pour 7i = 6,

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