T JJ, 1.2.3.../* T

C’est précisément la formule de Taylor, dans laquelle le reste qui complète les n-M premiers termes est exprimé par une intégrale définie.

373. Pour déduire de celte formule le développement rappelé plus liant, dans l’équation

(g) o( x -H h ) — ç>(.r ) — hf’{x) + - - »'(jr) i

+ , si"(r|+ I , s“*'(x H- A — u) du,

i.i.3...iat J i.a.3. ..a «'

remplaçons successivement la fonction ç far) qui reste arbitraire, par s'f.r), j'fx)

y"~' f*), et diminuons à chaque fois d’une unité le nombre arbitraire des termes conservés dans le second membre, de telle sorte que la fonction f5"’’1 («H- h — u)

I, Cale. inl. 44

beuxièsik partie. - calcul intégrai..

ri*r,

figure dans tous les derniers termes sous le signe d’intégration, nous aurons

i.a.3...(an— i) I ,/n i. a. 3. — i) T

i.a.3...(an — a)

Jf*A u«-l

„ t.a.3...(aR — a) r

Posons, conformément à la notation habituelle,

Of(x 4- A) — oF(x) = Ao'(i),

et ajoutons les équations précédentes, au nombre desquelles il faut comprendre

l'équation ( 9 , après les avoir multipliées respectivement par 1, A, A, A, A*

A„, Aa"-' en choisissant les constantes A,, A, A,„, de manière à faire dis-

paraître du second membre les dérivées 9" x ;, 9"' x . yw(x),..., f7n(x'j, on aura

(10) Aç(*) + A, AAo'(ar) 4- A,h’A<?~(x) + . . .4- A,., A"-' A?1** ’(*■ )

= A^'far) -t- f 4- A — h) F(«) </«.

En posant