ÉVALUATION DES AIRES PLANES ET DES ARCS DE COURBE

Expression d'une aire plane.

378. Lorsqu'une courbe plane est rapportée à des coordonnées rectangulaires *• et jp, l'aire comprise entre cette courbe, l’axe des X et «leux ordonnées correspondant aux abscisses a et b est représenté par l'intégrale

fh y dx.

J tfm

Toute intégrale définie représente doue une surface, et les exemples traités dans le premier livre pourraient tous, avec un simple changement dans l'énoncé, trouver plaec dans ce chapitre.

Il faut remarquer que la formule qui représente l’aire suppose l'ordonncc positive pour tous les points de la courbe dont les abscisses sont comprises entre a cl b-, si l’ordonnée j est négative, l'élément ydx de l’intégrale est lui-méme négatif, et l'intégrale, somme de ces éléments, représente l’excès de la surface située audessus de l’axe des X sur celle qui est au-dessous.

Il est également bien entendu que la limite supérieure b surpasse la limite inférieure a; s'il en est autrement, l'inlégvale est égale et de signe contraire à celle que l'on obtient en renversant les limites, et par conséquent, lorsque l'ordonnée est positive, l’intégrale représente l’aire changée de signe.

379. Pour évaluer la surface comprise dans l'intérieur d’une courbe fermée telle que celle que représente la figure, on doit déterminer d'abord les tangentes MP,