LIVRE SECOND. - APPLICATIONS ET DEVELOPPEMENTS. 3HS

données infiniment voisines MT, M'T\ ilont la distance est dx, coupent le contour en des points dont nous représenterons les ordonnées par v,, y2, vc,, v,, v0 ; et l'élément de surface correspondant est évidemment

i y, — )\ -+- .»•, — .v, -+- y, — v. dx.

lin nommant ds,, ds,, ds,, ds , , ds , , d les petits arcs dont la projection commune est TT' ou dx, et a,, a,, a,, a,, «„ les angles formés par Taxe des y avee la normale extérieure à chacun d'eux, on a

dx — ds, cos x, = — ds, cos*, — ds, cosa, = — ds, cos*, -= ds, cos*, = — ds, cos*„

et la somme des expressions telles que i est par conséquent représentée par

* j y ds cos *.

J. 'intégrale devant s'étendre au contour entier, quelle qu’en soit la forme; la démonstration, qui est générale, repose sur re principe évident que lorsqu'une droite rencontre en plusieurs points une courbe fermée, elle forme avec la normale extérieure un angle obtus en tous les points par lesquels elle pénètre dans lt contour, et un angle aigu en tous ceux par lesquels elle en sort.

382. Lorsqu'une ligure plane est rapportée à des coordonnées polaires, on peut aisément exprimer les portions de son aire comprise entre les deux rayons vecteurs. L'aire comprise entre un rayon vecteur tixe correspondant à l'angle a. et le

rayon variable qui correspond à l'angle si, a en effet pour différentielle (I, 116)

fd d'n, et l'aire elle-même, qui s'annule pour = a, est représentée par l’intégrale

en supposant toutefois a moindre que ai.

• Pour évaluer l’aire d’une courbe fermée à laquelle l’origine est extérieure, un euinmenccra par mener du pèle deux tangentes OM, OM' à cette courbe, et l’on

remarquera que la surface demandée est la différence des deux aires OMKM',

Xm DEUXIÈME PARTIE. - CALCDI. INTÉGRAL.

O.MK’.M', qui chacune s’évalueront à l’aide de la formule précédente, lin nommant p, et p, les deux rayons vecteurs qui répondent à une même valeur de u, celte aire sera

les limites de l’intégrale étant les valeurs tic qui répondent aux rayons extrêmes

om, osr.

St la courbe n'est pas convexe, on peut être obligé, comme dans le cas des coordonnées rectilignes, à décomposer la surface en un plus grand nombre de parties comprises chacune entre deux tangentes issues tic l’origine et l’arc que leurs points de contact interceptent sur la courbe.

383. On peut, en employant toujours les coordonnées polaires, représenter l’aire d’une courbe fermée par une intégrale unique qui convient à tous les cas. Si deux rayons vecteurs voisins coupent la courbe aux points M,, Ms, M,, M,, dont les rayons vecteurs soient p,, p ,, p,. p,, l’élément de surface compris entre ces deux rayons vecteurs est évidemment

En nommant c/s,, ils,, ils ,, ils , les éléments de contour compris entre les rayons considérés et si,, «3, u, les angles formés par les mêmes rayons avec les normales extérieures aux divers éléments, on a

ils, rosa, Pi

ils, rosx, ?•

lis, cos SC,

lis, cos X,

et l’aire est exprimée par l’intégrale

I p ils r os y ,

étendue à tous les éléments du contour.

On peut remarquer que le produit p cos« est égal h la perpendiculaire /rabaissée du pôle sur la tangente à l’élément ils, et l’expression peut s’écrire par conséquent

Mais, en lui donnant celle forme, on perd l’avantage de n’avoir pas ii se préoccuper du signe des éléments que l’on doit ajouter.