O COS

ce qui s’accorde avec le résultat trouvé 'I, 20 ,

401. Arc de cardioïde. — I. 'équation île la canlioîde est !389)

p — a + a cosùi.

La différentielle de son arc est par conséquent donnée par la formule dt ’ -- dt>' -+■ &' d u’ ! «' cos’ - d w\

dt =. U COS " </»>, a

et l’on a

t -- .a sin L.

Si l’on compte les arcs à partir du point pour lequel on a ’o — o. la constante est nulle et l’on a

j — la soi •

Pour oj = jr, on a

et la circonférence totale de la courbe est 8a.

t Théorème de Steiner.

402. La longueur totale de la cardioïde est égale à celle de la cycloidc engendrée par un point du cercle considéré, lorsque celui-ci roule sur une de scs tan-

37i DEUXIÈME PAIITU2. - CALCUL INTÊÜHAL.

geôles. La coïncidence n’est pas fortuite, elle est la conséquence nécessaire d’un.

théorème élégant dû à Sleiner :

lorsqu'une courbe quelconque roule sur une de ses tangentes, la longueur de la roulette engendrée /><tr un point du plan lié invariablement à cette courbe est égale à la portion correspondante de la ligne lieu des pieds des perpendiculaires abaissées de ce même point sur les tangentes à la courbe mobile

Soit M la position du point décrivant au montent où la courbe mobile louche en A la droite sur laquelle elle roule. Lorsque le point voisin A' vient par suite du

roulement se placer au contact de la tangente fixe, on peut regarder le point M comme tournant autour de A d’un angle égal à l’angle de contingence de l’arc AA', cl l’arc qu’il décrit est égal, aux infiniment petits du second ordre près, au produit du rayon AM par cet angle de contingence «; mais si l’on abaisse du point M des perpendiculaires sur les deux tangentes de la courbe supposée fixe, l’élément PP' coupe les taugentes AP, AP' (I, 14; sous un angle égal à MAP. Cet clément l’P' a par conséquent pour expression

cos MAP

MA.r,

et il est égal à celui de la roulette décrite par le point M.

Longueur totale d’une courbe jermee,

403. Considérons une courbe fermée quelconque AMM'A, et à partir d’un point fixe A pris sur son contour, l’arc arbitraire AM, la tangente en M et la per-

pendiculaire OP abaissée d’un point fixe O sur celle tangente. La longueur AMP, composée de l’arc AM et de la droite MP, est une fonction de la position du point.M.