LIVRE SECOND. — APPLICATIONS ET DÉVELOPPEMENTS. ATI

et lorsque ce point, faisant le tour entier de la courbe, revient à sa première position, la portion MP reprenant évidemment sa valeur primitive, l'accroissement total de AMP est égal à la circonférence entière de lu courbe considérée. Pour évaluer celle circonférence, il sullil donc d’intégrer la différentielle île AMP égale évidemment à

(ij rfAM -+- </MP.

Le théorème démontré (I, 21 } donne l’expression de (/.MP, qui, pour le déplacement MM' du point M, lorsque MP devient M'P’, est

— MM' -s PP'cosPF.SF, et l’expression (i) est égale par conséquent à

PP' cos P P ' , MP,

c’est-à-dire, évidemment, à l'are de cercle décrit du point O comme centre avec OP pour rayon et compris entre OP et OP'.

Si l’on nomme /> la perpendiculaire OP abaissée du point O sur la tangente cl e l’angle de contingence de l’arc MM', égal évidemment à l’angle P'OP, la différentielle de AMP est d’après cela pi, et la longueur totale de la courbe

c’est-à-dire, en nommant f le rayon de courbure,

l’intégration s'étendant au contour entier.

Théorème de Pascal.

40t. Les géomètres, en étudiant la reelitication des courbes, ont souvent obtenu des relations simples entre des arcs de forme Irès-dill'érente qui, pris isolément, ne pourraient être rectifiés.

Pascal, le premier, en a donné un exemple très-élégant en démontrant que la longueur de la courbe engendrée par un point attaché à un cercle qui roule est égal à la circonférence d’une certaine ellipse.

L'expression des différentielles des arcs permet de démontrer bien simplement ce théorème de Pascal.

Soit M lu poinl décrivant de la roulette allongée Mil', en nommant r le rayon

de cercle, « l’angle dont il a tourné pour parvenir dans la position C, A,, et a lu distante MC; les coordonnées .r, et y, du point M' sont évidemment

x, — ru — a sill/4,

y , — r — a cos u,

cl Tou at eu nommant ds la différentielle de l'arc,

f/s* = dx\ -4- djr] r- du1 [( r — acosh)’ ■+■ a1 sin*ri] sz {«'-+■ r1- :t«r cos <*/</{<'

ds — du y { a -4- r)* — 4 «r cos* - u ,

et en posant u = r. — a-p

ds — — 2</<p y(« -f- /• )*— 2«rsin*9,

et la longueur totale de la courbe est représentée par l'intégrale

TT

7 a/ </& y (« + /•)' — ("'wio'V.

ce qui (3!Hj représente la circonférence d’une ellipse.

Théorème de Jacijues Bernoulli .

•iO.j. Jacques Bernoulli, le nrcmier, a assigné sur une même courbe des ares non superposables dont l’égalité se démontre sans qu’il soit possible d’évaluer leur longueur commune. C’est par là sans doute que la voie a été ouverte à Fagnano, dont le beau théorème sur les arcs d’ellipse a révélé à Euler le principe fondamental de la grande théorie des fonctions elliptiques.

I.a courbe considérée par Bernoulli est nommée par lui spirale parabolique ; i Ile

IJVRE SECOND. - APPIJCATIONS ET DÉVELOPPEMENTS. aî.S

a pour équation en coordonnées polaires

p et R désignant des lignes données. Si l’on nomme s l’are de cette spirale, on a iis1 = dp* 4- p' <1 = il p? 4- p1 ~ - dp1.

F.n posant

l’expression île ds devient

et l’arc compris depuis le point correspondant U p' — o jusqu’à celui qui correspond à p' = I est représenté par

l’arc compris entre les points correspondant à p’ = o et p — — l est représenté

Os «leux intégrales ont précisément la même valeur, car les deu , éléments qui correspondent à des valeurs égales et de signes contraires de p' sont évidemment égaux. I,e point qui correspond à p = o, c’est-à-dire à p = — • est donc le milieu

de l’arc pour les extrémités duquel on a p' = / et p' = — /, c'est-à-dire p = — 4- /

et p = — — /, et l'on peut assigner d’une infinité de manières sur la spirale parabolique des arcs dont l’égalité est démontrée quoiqu’ils ne soient pas superposables.

Théorèmes de Tognano.

40(5. Dans le tome IX du journal / letierali italiani, Fagnano proposait aux géomètres le problème suivant :

Trouver sur la courbe dont l'équation est

deux arcs dont la différence soit rectifiable.

37C. DEUXIÈME PARTIE. - CALCUI. INTÉGRAI..

Aucune solution n'avant été donnée dans le terme d'une année qu'il avait assigné. Faguano publia la sienne en l’accompagnant do plusieurs théorèmes analogues avec l'indication de la méthode qui les lui avait fait découvrir.

Soit une intégrale

o{x)dx.

Si on la transforme en substituant à x une variable nouvelle s qui lui soit liée par une relation connue, il peut arriver que, loules réductions l'ailes, <f x )dx se transforme enjjsjrfi en conservant la même forme, de telle sorte que, par le changement de variables, les limites seules aient été changées; on a alors une équation de la forme

J <?(x)d. t— J <?(z)dz.

Dans d'autres cas, l’expression çi'ar dx se transforme en — y (t ) dz, et l’on a

Xb /»</

o[x)dx x- I -y[:)dz = o,

les limites c et d étant, comme dans le cas précédent, liées à a et à b par la formule de transformation.

Si l’intégrale considérée représente un arc de courbe ou l’excès de la longueur d'un tel arc sur celle d’une ligne droite connue, les formules précédentes feront connaître sur cette courbe des arcs égaux ou des arcs à différence rectifiable. Considérons par exemple l’intégrale

En posant .r = -• on a

,lx

r* dx

dz

et par conséquent

dx r* dz d;

J» V'TVÏ* J I \ I -r- =* .1 /T+l*

Fagnano déduit de celte remarque un théorème élégant relatif aux arcs de la