ÉVALUATION DES SURFACES COURBES

Surfaces de révolution .

418. lui portion d'une surface de révolution comprise entre deux sections perpendiculaires h l’axe est représentée par une intégrale simple. On peut en effet assimiler la surface comprise entre deux cercles parallèles infiniment voisins à un tronc de cône engendré par l’élément de la courbe méridienne tournant autour de l’axe.

Si l’on suppose que l’arc de courbe plane MN situé dans le plan YOX tourne au-

tour de l’axe desX, le tronc de cône engendré par l’élément ds a pour expression

?~y ds,

et la surface engendrée par MN est représentée par

ai: J y ds,

les limites étant telles que tous les éléments de l’arc MN figurent dans l'intégrale.

4-1 'J. Surface de la sphère. — Considérons la sphère engendrée par la révolution autour de l’axe des X du demi-cercle dont l'équation est

On a

ds = dx y/. + (%)' = dx y/. + = 5 dx.

et par conséquent la surface de la zone comprise entre deux sections correspondant aux abscisses a et b est

Rrfr = îrR b — a ,

produit de la circonférence d’un grand cercle par la hauteur de la zone.

420. Surface de l'ellipsoïde de révolution. — Considérons l'ellipsoïde engendré par la révolution autour de l'axe des X de l’ellipse qui a pour équatiou

On a

ils = ax i / i -4- —

et par conséquent la surface comprise entre les sections qui correspondent aux abscisses p et y est, en posant a 3 — tr = c* et ^ = c%

Cl \ t— j izhe f**1 f { (t\* .

— J[ = —J' y (-) x’ dx

r lie / fijp a ’ . ex\>

- — Ui — — *' h — - aie sin — ] •

a V Ve1 e' a /,

Si l’on prend pour limites zéro et a, on obtient, [tour la surface du demi-ellipsoïde,

. / arc sin<?\

r.ab I , i — e’ -t-

421. Surface engendrée par une cycloide. — Les équations de la ejeloïde sont

x — aiu — sin n , y — a i — cos u .

On en déduit

ils — i« sin — « du,

et la surface cherchée est

cos u i sin 1 « du = 8na' j sin’ a .1 a

u du.

Pour avoir la surface engendrée par la demi-cycloïde, il faut faire varier a entre