LIVRE SECOND. - APPLICATIONS ET DEVELOPPEMENTS, zéro Pt tr. Or on a

et par conséquent la surface totale engendrée par la cycloïdc est j rra3. . Evaluation d'une surface quelconque.

422. Pour évaluer une surface quelconque, il faut la décomposer en éléments infiniment petits dont la courbure soit négligeable et que l’on puisse par conséquent calruler comme s'ils étaient plans. On doit, dans chaque cas, commencer par projeter le contour-limite de la surface à évaluer sur un plan qui sera, si l'on veut, celui des XY. I.a surface de cette projection sera décomposée en éléments infiniment petits. Soit du l'un d’entre eux et do la portion correspondante de la surface courbe: si y est l'angle formé par le plan tangent de do avec le plan des XY, on a

d 7 dis y = </,,!,

Si la surface à évaluer est donnée par son équation

. dz dz

on a, en posant = p, jy— 1-

cos y = — i

et si l'on prend pour l’élément d'» le rectangle dxdy compris entre deux parallèles à l’axe des X distantes de dv et deux parallèles à l’axe des Y distantes de dx, on aura

do — dx dy y l + p’ - 1- </’,

et la surface sera la somme des éléments do correspondant à l'intérieur du contourlimite.

On peut, pour sommer les éléments, réunir d'abord ceux qui correspondent h la portion du plan des XY comprise entre deux parallèles h l’axe des X dont les ordonnées sont y et y dy. Celte somme est évidemment exprimée par l'intégrale

simple

dy I dx y' i -V- p: 4- 1]\

dans laquelle on prendra pour limites les deux valeurs de x qui, dans l’équation de la courbe qui sert de projection il l'aire cherchée, correspondent à la valeur choisie dc j. Le résultat de celte première intégration sera le produit de dy par une fonction de la seule variable v. et on devra l'intégrer entre des limites correspondant aux valeurs extrêmes de v.

Soit AMNB la projection de la surface à évaluer, AR, BS les tangentes extrêmes parallèles à l’axe des X, de telle sorte que OR = a et OS = b soient les valeurs

entre lesquelles peut varier Y, l'expression de la surface projetée sur AMPN est, d’après ce qui précède,

I dy I dx \!i + p' +

, \ ’ JPM

Dans la première intégration relative à a,-, y est traité comme constant et les limites sont des fonctions dey; la seconde intégration se fait par rapport à y entre des limites constantes.

On pourrait évidemment renverser les opérations et sommer d’abord les éléments compris entre deux parallèles à l'axe des Y, et faisant pour cela une intégration par rapport à y entre deux limites fondions de x, puis, h l'aide d'une seconde intégration par rapport à x, réunir les tranches ainsi obtenues, et la surface sera expr imée alors par

■ •OH ,.Qt

| dx I dy y I -r p1 -+- q'.

-'OH Ji) F.

123. Le rhoix des éléments est entièrement arbitraire. Il est rommode quelquefois d'employer des coordonnées polaires et de décomposer la projection