MM

c’est-à-dire

ce qui s’accorde avec l’expression connue. Un triangle quelconque pouvant se partager en deux triangles rectangles, ce cas particulier équivaut évidemment au cas général.

Emploi de coordonnées curvilignes.

-S2fi. Le choix des variables qui représentent les points d'une surface peut être «varié à l’infini. La surface étant considérée comme connue, il faut, pour y déterminer la position d’un point, assigner les valeurs de deux cordonnées u et e, dont la définition peut être d’ailleurs absolument arbitraire. A chaque valeur de l’une des coordonnées correspond alors sur la surface une ligne déterminée, et le point qui correspond à deux valeurs assignées de u et de e se trouve ainsi défini par l’intersection de deux lignes. I.a distance de deux points infiniment voisins est, comme on l’a vu (I, 12.‘1). donnée par une formule de la forme

( h ) d.V - ■ A du’ -r 1 tî du dv -t- C dv',

A, 11. C étant des fonctions de u et de v faciles à déterminer dans chaque cas.

Prenons pour élément de la surface le parallélogramme MNM'.V compris entre les courbes qui correspondent aux coordonnées u, u -t- du, e, c -+- dv, u et c étant

les coordonnées du point M, et u -4- du, v + dv celles du point N': les cotés MN, .MM' correspondant, l’un à la variation du de u sans que e varie, l’autre à la variation dv

MVRK SfiCONII. - APPLICATIONS ET DftVF.I/lPrEMKXTS.

de v sans que u varie. Ils sont représentés, en vertu de la formule (a), par du y A et dv\ (i. Le parallélogramme infiniment petit MNM'.Y, douldo du triangle MNN', est par conséquent représenté par

il 3 — y AC tlu ih- sin N .

Pour calculer le sinus de l’angle N. menons la diagonale MM', et remarquons que I’oii*i dans le triangle MNN'

AI V — AIN’ 4- NN’’ — s AIN NN' rosN.

En remplaçant MN et NN' par leurs valeurs

AIN' = A du’ + C ih' ’ — i \ AC cos N du dv,

et la comparaison avec (a) donne

V AC cos N- B,

cos N ... — ,