V AC

et l’aire d<; est par conséquent

(1) </» — rfo i/e y AC — B".

Pour intégrer l’élément <! c, il faudra faire d’almrd une intégration par rapport à «, [mis par rapport il e, en adoptant des limites qui dépendront de la forme de la ligne qui limite le contour à évaluer.

427. Lorsque l’équation d'une surface est donnée sous la forme

et que l'on veut prendre p et </ pour variables, il n’csi nullement nécessaire de cal culcr l’élément r/s1 d’une ligne tracée sur la surlaee, et l’on peut plus directement obtenir une expression équivalente île l’élément de surface, complètement identique d’ailleurs quand on développe les calculs.

Considérons trois points infiniment voisins correspondant aux valeurs p, q-, p + dp, q\ p, q -t- dq des variables. I.es valeurs correspondantes de x, v, : seront

dx .

dp dp'

dy , dz ,

y+ ttjdp, z 4- ^ dp.

dx , dq d1'

dy . dz.

-V + dq d,l’ Z+dqd'l'

et le triangle formé par les trois points a pour projections sur les trois plans coorifonnés

r j il.r tir ; '• i/ji dq

Ht dr\ . , dq dp) , p “h

i , il) il; 1 \ llp dq

dy dz

dq llp

i ( d z d. v ■x \ ilp dq

Le triangle lui-même, égal, d'après un théorème bien connu, b la racine carrée de la somme des carrés doses trois projections, est représenté par

i . . ,dx dy dx rfr'i' (dy dz dy d: (dz dx d z dx\'

x ' p< 1 y ' dp dq dq dp I * \ dp dq dq dp ' 4 ' dp dq dq dp I

Le parallélogramme formé par les quatre lignes infiniment voisines qui correspondent aux valeurs p, p •+- dp, q, q -y dq des deux variables est évidemment double de ce triangle, et l’aire d’une portion de la surface est enfin

Ç f . . (dx dy dx dry (dy d; dy ds\ * / d: dx dx d) y

J J I 1 V dp dq dq dp) ^ * dp dq dq dp) ' ' dp dq dq dp)

428. Surfaces sphériques. — Ün détermine très-habituellement les points d’une sphère par l’intersection d’un méridien avec un parallèle. Les deux coordonnées sont alors l'angle ^ que le méridien correspondant forme avec un méridien fixe et l’angle 5 qui mesure la distance au pôle. On a trouvé (I, 122) dans ce système de coordonnées

dy — Rc rf 6’ -t- sin’ 9 </<]»*)•

et l’élément de surface compris entre deux parallèles et deux méridiens infiniment