MI

voisins est par conséquent

1/7 -■ R1 sin 5 f/0 rfrjf.

Appliquons celte formule à lu recherche de l’aire d'un triangle sphérique.

Prenons pour pôle l'un îles sommets P du triangle PBC. Soit I l'intersection de BC avec l'équalcur, et supposons que le méridien principal, à partir duquel on

compte les angles et qui est arbitraire, coupc l'équalcur à un quadrant de distance du point I, l'élément de surface étant

H’ slnCu/0 r/vp.

Intégrons d'abord par rapport à 0, entre les limites indiquées sur la ligure, 6 — 0, 0 = PG. On a

(4i / R’ sio£i </5 dty = R’ </-{di — cos PG ) = R* — sinGK ).

Telle est l'expression de l’aire infiniment petite comprise dans l'intérieur du triangle entre deux méridiens infiniment voisins PG, PG’. La surface du triangle est par conséquent, en nommant i{/0 l’angle BPA et <}». -t- P l'angle CPA.

»— I R*</ij((i — sinGK) = R’P — / ll'r/^ sinGh Ji. Jj,.

mais le triangle rectangle GKI donne

sinGK sinIK cos']/

sinl sin G sin G ’

rosG = coslK sinl - - sin 14 sinl, Kn différeutiant la seconde de ccs équations, on a

— sinG rfG = cos'4 sinlrfi|<.

el les deux équations f<>) et d.i donnent

sintîk —— ilG ;

la formule (5) devient par conséquent P

S= IUP — / K'dG = R’j P — ( - — B — C ' = R’( P -t- B C — r:), ce qui est la formule connue.

.429. Surface cartable sur la sphère. — L'expression d’une aire sphérique étant

I I IU sinOi/ü d'},

on peut toujours effectuer la première intégration, el l’on a I 1U sin 5 </ 3 = — R’ cos 0 + G,

les limites étant deux fondions de <|i que la courbe qui termine l’aire cherchée faii connaître. Kn prenant, pour représenter celte courbe, l’équation fort simple

on trouve un résultat remarquable.

Si PA est le méridien principal cl PAIi un triangle triroetangle, la portion de

courbe comprise dans l’intérieur de ce triangle étant P.MB, l’aire comprise entre elle et le côté PB a pour expression

“ TT

pi pi pi -ni

I R’rf'W sinOd&=/ R!</i{i( i — ros-i) = - — R“,

et si l’on reproduit la même ligure dans les quatre triangles trirectangles qui

LIVRE SECOND. - APPLICATIONS ET DÉVELOPPEMENTS, forment l'hémisphère, l’aire comprise entre les courbes PM B sera

toi

elles laissent donc en dehors d'elles la surface rnrrablc '\ R1. C’est sous une autre forme le théorème de Yiviani, et il est très-aisé de montrer l'identité de la courbe dont l’équation est 3 = tj< avec celle qu't (424) se projette sur l’équateur suivant un cercle de rayon R.

430. Surface de ï ellipsoïde. — La détermination de la surface de l'ellipsoïde est impossible sous forme finie explicite. On peut seulement effccluer une des deux intégrations auxquelles conduit la méthode générale. Les géomètres sont souvent revenus sur cette question dont nous donnerons plusieurs solutions.

Soit

l’équation d’un ellipsoïde. On peut déterminer les points de la surface par les valeurs de deux variables 9 et telles, que

. * — usiné cos<|»,

4to) • jr — èsinéslntj',

( z — c rosG.

Ces variables, dans le cas où l’ellipsoïde devient une sphère, coïncident avec celles que nous avions adoptées (428;, et il faut, comme dans le cas de la sphère, pour obtenir tous les points de l’ellipsoïde, faire varier 0 de zéro à n, et de zéro à an. On déduit des équations (io

il. r — a cos 5 cosi </0 — a sinG sin ^ «/'J'ily - b cosG sin •]> dO •+■ b sio G eos'Ji </•{<, ih c sin 9 </G,

ti.C — ilx' 4- il)’ + tlz’ = d 6‘ [ a’ cos’9 cos; H- b’ cos' G sin’ 4 -+■ c1 sin’ G !

4- il\i’(u' sin’G sin’i)/ -+- b’ sin’ 9 cos'']/)-*- ad 9 il!) [{b'— n ) sin 9 cos 9 sin \}> cos<|'),

et l’élément de surface de est par conséquent

di = d*> v [co**6 «‘ron1 } -t- j , -t- c 1 «in’fr] «in1 0 [<•* «n1 f — «')* »inl£ <-o»,ÿ sin*^ cos* ^ y

ou en réduisant

île — uhc sin G f/G </'4< —