LIVHK SECOND. - APPLICATIONS ET DÉVELOPPEMENTS

l’origine au point correspondant de4a surface sur les plans tangents de laquelle

on abaisse les perpendiculaires. La fraction ^ qui ligure dans l’expression de

la surface élémentaire, peut être, par conséquent, remplacée par le produit pr, et l’élément de la surface cherchée est représenté par

prsinO diilty,

5 et ij, désignant les coordonnées angulaires du rayon vecteur p.

Supposons, par exemple, que la surface donnée soit un ellipsoïde ayant pour centre l'origine des coordonnées; en nommant les axes a, b, c et p, v les angles formés pur la normale au point dont les coordonnées sont x, y, z, on trouve aisément

pr^= ^ n' cos'). +- /<’ cos’ul -4- e'cos’v: c’est-à-dire, en introduisant les angles 5 et •},

pr v'#i< cos‘5 -+ •;/>' siiéi H- c*cos'^ ;sin'0, et l’aire totale de la surface proposée est, par conséquent ,

Ç sini i/Oi/'j. v'n‘cos’5 -t- (i'sin'ij/ + c*cosJ'j/)»in’S,

« O Vfl

c’est-à-dire ' -430 ; précisément la surface de l'ellipsoïde dont les axes seraient

ne ab et — b c

Introduction des rayons de courbure dans /'expression de la surface.

433. On peut, pour représenter les points d’une surface, adopter les deux angles qui définissent la direction de la normale en ce point. Menons par l'origine des coordonnées rectangulaires une parallèle à celle normale. Soit 5 l’angle qu’elle forme avec l'axe des Z, et l'angle dièdre formé par le plan des ZX avec le plan conduit par elle et par l’axe des Z. L’élément de la sphère de rayon unité évalué au moyen îles angles 5 et | est ( t28) sin 0 dO d <|i. Le rapport de cet élément à l'élément correspondant de la surface considérée est (I. 722) la courbure jj-jr de cet élément. en nommant R, et R, les deux rayons principaux de la surface. L'élément

tic surlace est donc

K, lt, sinü tlcj ill.

et la surface totale est représentée par

j I K, R; si n0t/6i/'p,

la double intégration s'appliquant à toutes les valeurs de 5 et île 4* 'lu' répondent aux points de l’aire considérée. S'il s’agit d'une surface fermée et convexe, on devra, pour l’avoir tout entière, intégrer entre les limites 0 = o, 9 = r, <|i = oî <{< = as.

434. Appliquons la formule précédente au calcul de la surface totale d’un ellipsoïde.

On a (I, 631), en adoptant les notations habituelles.

rt — i'

L'équation de l'ellipsoïde est

On en déduit

par suite