I.1VHE SECOND. - APPLICATIONS ET DÉVELOPPEMENTS

égale à 4ir, on a

l'intégration s'étendant à tous les éléments de la surface.

Le théorème ne souffre aucune exception. Si le cône prolongé du même côté du sommet O coupe la surface en plus d'un point, le nombre des intersections sera nécessairement impair et les éléments correspondants de l'intégrale, égaux alternativement à d'a et à auront toujours, dans l’intérieur d’un même cône

élémentaire, une somme égale à dut.

43G. Lorsque le point O est extérieur à la surface fermée, l'intégrale qui forme le premier membre de (A) se réduit à zéro; le cône d’ouverture d<.i coupe en effet dans ce cas la surface un nombre pair de fois, et les éléments correspondants de l’intégrale étant alternativement — d u et -*-<■/',>, leur somme est égale à zéro et l’on a

437. Considérons par exemple un ellipsoïde dont les axes sont a, b, c, et soient a, fi, y un point quelconque extérieur ou intérieur, on a, en adoptant les notations du n° 430,

, . ros’5 Sin’O COs!,L sln‘0 sin‘-i

i/ç abc sm rJ db <11 \ -+- + , — — •

Les cosinus des angles formés par la normale avec les axes sont

sinîcosi

cos 0 sin'6 cos’tji

mm Siléiji

sin!/sin|

/eos’G sln’Gcos’d*

sin’G sin’tG

cos&

/co^O üiii'Ücos1^

sin'G sin’G

c* H îë~~

et les cosinus des angles formés par le rayon r avec les axes

HW

On a par conséquent

COSlN /

COS ) cos i

/ros‘0 sin!6cos''i sin'O sin!,i \ ar

lr

-f- Z—.- ? sinO sin 6 -+- * - eos& U

or 1 c*r /

et par conséquent, en ayant égard aux valeurs de <r,j% s (430 j, l'intégrale

est égale à zéro ou à suivant que le point dont ar, fi, y sont les coordonnées est situé à l'extérieur ou à l'intérieur de l'ellipsoïde.