LIVRE SECOND. - APPLICATIONS ET DÉVELOPPEMENTS. 4SI

gène suivant la loi indiquée. Il sera plus intéressant du traiter la question directement en rapportant la démonstration élégante donnée par M. Thomson lui-même.

Considérons une couche sphérique infiniment mince dont la densité en chaque point soit inversement proportionnelle au cube de la distance au point P, de telle

sorte qu’un élément d<; placé en II ait pour masse > ). étant une constante, et que son attraction sur un point de masse >4 placé en M soit représentée par

PU üm‘

Prenons dans l’intérieur de la couche un point K situé sur la droite MP prolongée et tel, que le produit PK.P.M soit égal au produit constant k 3 des segments de deux cordes quelconques de la sphère qui se croisent en P. Pour décomposer la couche eu éléments dont les actions sur le point M devront être réunies ensuite, nous procéderons de la manière suivante :

Par le point K menons une droite quelconque qui coupe la surface sphérique en K et en F; joignons EP et FP, ces lignes prolongées couperont la sphère en G et en H, et il est clair que si à EF on substitue un cône d’ouverture infiniment petite t/c», ayant son sommet en K, les points F et E seront remplacés ainsi que G et H par des éléments superficiels. La méthode de M. Thomson consiste à prendre pour action élémentaire celle qui est exercée par les deux éléments G et 11; cette action, résultante de deux forces dirigées suivant GM et 11M, est toujours dirigée suivant MP, et la sommation relative à toutes les positions du cône EF s’elTeeluc ensuite sans aucun calcul.

Pour évaluer l’action de l’élément II sur le point M, il faut chercher la masse de

cet élément et pour cela multiplier sa surface par la densité — s • L’élément de

PH

surface sphérique intercepté en F sur le cône d’ouverture d c» est évidemmeul égal au prodbit c/m.KF divisé par le cosinus de l’angle formé par KF avec le rayon de la sphère, c’est-à-dire à

c/m KF . R

EF

iSi DEUXIÈME PARTIE. - CALCUL INTÉGRAL.

Mais les éléments F cl G élan! détachés sur la sphère par un même cône qui a son sommet en P et qui évidemment la coupe à l'entrée et à la sonie sous des angles égaux, la surface de l'élément II est

f/.,KF’. a H Pli’