Considérons, par exemple, l'intégrale
U Vil F. SECOND. — APPLICATIONS ET DÉVELOPPEMENTS, étendue aux valeurs positives pour lesquelles
Elle est égale à
.r ; -t- j; -i- . . . -4- xi R1.
iü'.i
Pour n = 2, elle représente le quart du cercle de rayon R, et l'on a en effet
R' ^(â) itR’
Pour n=3, elle représente le huitième de la sphère de rayon U, et l'on a en effet
Si l’on veut étendre l’intégrale (i5) à toutes les valeurs de x,, x, x„ qui satis-
font è l'inégalité (16), il faut multiplier le résultat précédent par a". Il est aisé de voir en effet que le signe de chaque variable étant assigné, l’intégrale, quelle que soit la combinaison choisie, aura la même valeur, et le nombre des combinaisons est a".
(17) / / ••• / ar*' 1 x*'-1 , . .xJ"-1 éx, dxt. . . tlxm
étendue aux valeurs positives de x, , x,,..., x„ pour lesquelles
est égale (484) à
a*.**, +••••**. r fin,)... r< k.
r (k, -+- Ar, 4- . . . +- A„ + 1)
L’intégrale étendue aux valeurs de x,, x.. x„, dont la somme est comprise
entre h et h d/i, est par conséquent
(A-, - 1- k, k.)hl<+*<+—*t*-'dh r (k, ) Tk,...Tk,
1 ki -P k 1 -4- . . . -4- A „ -4- 1 )
t,1.**. <ti, nk, -, r Ai). . . r< a.
r ( A*, -4- ki -4- ... -i- Ai)
M. Liouville a déduit de cclto remarque une formule de réduction pour l'intégrale
{19) J J "J xl' ~' • • • *i’-1 dx, dx,. • • dx, F ( x, -t- x, 4- . . . 4- x,
étendue à toutes les valeurs positives «le x,. xa x„, pour lesquelles on a
,r, -+- x, -t- - . -4- x„ < fi.
L’intégrale relative aux valeurs de xtt x,,..,, pour lesquelles la somme est comprise entre A et h 4- dh étant en effet
F(à) r(fri) rii-, , . . . r/ù
t{lr, + h+... + k.) ’
la somme totale est évidemment
ra, rié,,. r
— fV/i rii.+f^ . + i. t/„
et l'intégrale multiple est ramenée à une intégrale simple.
On en conclut, par un changement de variables, la réduction de l'intégrale
(2,) / j- j^r ?[(^y,+ {%y+ - - + (£)''y*'dx,...dx..
Pour les valeurs positives de .r,. xt... a-,, telles que
elle est équivalente à
ta»)
r(§)r(sV
"rU) r\ ,llhk'k
par exemple, l'intégrale
fl'-f
