Soit

U— f I ■■•J <?(*„ x,)dx, dx,. .. dx.

une intégrale multiple dont les limites soient définies avec précision. l’roposons-

nous d'y subslituer aux variables .r,, x,,..., x„ des variables nouvelles u,, », u„

qui en soient des fonctions connues. La solution implique évidemment (rois recherches distinctes.

i® La transformation de la fonction çfx,, a*, x„); a" la détermination du

nouveau système de limites; 3° la recherche de l'expression qu’il faut substituer à dx,, dx,,..., dx„. La solution des deux premières questions est purement algébrique, et nous nous occuperons seulement de la troisième.

Supposons d'abord que l’on change une seule des variables et qu'à x„ on substitue écrivons l'intégrale proposée de la manière suivante :

I dx, j'dx1... I dx.., I if(x„ x,,.. , x.)dx,.

Dans la première intégration à effectuer par rapport à x„, cr,, x„ .r„, sont des constantes; pour remplacera.» par il suffit d’exprimer x„ en fonction de », et

dx

de x„ x,,..., , et de remplacer dx„ par du„. On a donc, en nommant

ÿ,(a?,, x„ x„,, u„j ce que devient la fonction ç,

9 — Ç j** ’ ■ x„ . . . , x.-» ». ) ^ ■ dx , dx, , '. . dx, . . . du » .

Dans l’intégrale qui forme le second membre, changeons l'ordre des intégrations et écrivons-la comme il suit :

f dX'j'dx, ... j dx,., I du. j' 9, ( x„ x, ». ) -gp </*,.

Celte fois, dans la première intégration indiquée, x„ x,,..., x„.„ u„ sont des