LIVRE SECOND. - APPLICATIONS ET DÉVELOPPEMENTS. Wi

constantes. Pour remplacer x*, par il suffit donc d'exprimer x„, en x,, x,,..., x*j, u„, i et de remplacer </x„, par l’intégrale proposée

devient ainsi

U— J J" ■ • • j ?,(x„ x, x, il.) ^ d,i^— dx.dx,, . . dx.^,du^,du..

En continuant ainsi et remplaçant successivement chacune des variables x,,x,,...,x„ par uai..., u„, l’intégrale proposée deviendra

//'•/ «» Un

liXn dXm.

dum thi„-

du, du j . . . du„,

du,

a*) élanl ce que devient la fonction 9 lorsque les variables sont remplacées par u,, ut u„ et ■ • • > (/ll > qui n’ont de sens (I, 51) qu’autant

que l'on indique les variables qui, da'ns le calcul de chacune d'elles, doivent rester constantes, sont définies, comme cela résulte de la démonstration, de la manière suivante :

Dans x. est considéré comme fonction de u « et de x,, x, x«,, qui res-

tent constantes dans la différentiation.

jx ,

Dans x„. , est fonction de et de x,, x,,.. , x,, et u„, qui restent constantes dans la différentiation.

Dans ^"'i x„, est fonction de et de x,, x, x„,, qui restent

constantes dans la différentiation.

dx

Et ainsi de suite jusqu’à r-'- > oùx, est considéré comme fonction don,,»,

Le produit ainsi défini,

(Ê)(fe)-(£:)-

est égal (I, 77) au déterminant du système des variables anciennes x,, x,,..., x„ par rapport aux variables nouvelles u,, u,,.. , u„, et l’on doit enfin, dans la transformation d’une intégrale multiple, remplacer

par

dx, ilx, . . . dx .

du, du,. . . du. ^ x" x”

493. Le résultat est d’accord avec ceux que nous avons trouvés (451) pour

l'évaluation des aires et des volumes, et en cherchant l’expression des intégrales

ff**

J f f dxdydz,

quand on adopte un système quelconque de variables, on retrouve les formules données (451 .