LIVRE SECOND, - APPLICATIONS ET DÉVELOPPEMENTS

d’où l'on déduit

(46) ung^= -h tangft

■A étant exprimé en fonction de q seulement, le déterminant par lequel on doit multiplier dpdq pour remplacer didO se réduit à

rfj» <10

On déduit des équations (45) et (46) ,

dty bc

</(/ ” b‘ cos’ç -h c’ si n’y ’

. . <10 «( b' cos’u ■+■ c’ sln’o) sino

SI n ^ - — r

1 («’ cos’/i 4- //’ sin’/i cos-q + c’sin’/» sin’y)’

l.es limites, on le voit aisément, sont d'ailleurs les mêmes pour/i et c/ que pour S et <|(, et l'intégrale se réduit à

pii fi*

«(ici I sin p dp </</ — 4 ~ «bc.

495. Nous indiquerons comme seconde application la démonstration élégante donnée par Jacobi d’une formule fondamentale dans la théorie des intégrales Euléricnncs.

On a, par définition,

r (lr)= f er,xt-'dx,

r /)= I e-rjr*-' rfy.

On en conclut

car il sullît d'effectuer les intégrations indiquées (47) pour voir que l'intégrale double est le produit de deux intégrales simples.

Remplaçons les Variables x et y par deux variables u et v, liées aux premières par les relations

x — uv, y=u( 1 — w).

Les limites seront o et oc pour u, o et 1 pour c, et l’on devra remplacer d.vdr par

. , fdxdy dx dy\ , ,

<r« itv -, ; , = « au ,/c;

\ üv du du dv }

et par conséquent

d'où

et enfin

T{ A >r(/J= j ” C ' e- !*+<-' v>-'(i — v f-' du dv,

• T[k)t{l) = T[k + l)£'v‘-(i-vf-'

ce qui s'accorde avec la formule connue '322).

496. M. Schlomilch a élégamment généralisé le calcul précédent pour exprimer à l’aide de la fonction T une intégrale plus générale que l’intégrale Eulérienne de première espèce.

On a

, , , rr a )

x*-' e-"Jx = -T-*

et l’on en déduit 48) f°°

Posons

x = ne, y = « ( ■ — v ).

(Acrfy dans l'intégrale double devra être remplacé comme (495) par

. « du dv,

et le premier membre de (48) deviendra

ni

( i — v v4-' du dv ,

c'est-à-dire

et par conséquent

r(fr + /) J

[é(i — v) + av]1-*'

■Ki dv<

r , r(iqrn I

LIVRE SECOND. - APPLICATIONS ET DÉVELOPPEMENTS. Si l’on pose i — v— z, elle devient

I" *'-(1 — z f • . r /. ) rr /i >

et. en posant y— = t.

/** l'-'dl T( * ) T{ /) i

Ja bt-¥aK'' T (A-*-/) «' b‘