Considérons comme second exemple l’intégrale
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dans laquelle ih désigné l'élément d'une surface fermée quelcont|ue et RR’ le produit des rayons de courbure. On a, en adoptant des coordonnées rectilignes orthogonales.
tl<i — dx dy yi -t- /<’ + </’, i ri — s’
KK
p, q, r, s, t désignant les dérivées partielles du premier et du second ordre de z par rapport à x et à y, conformément aux notations adoptées (1, 034;.
Substituons h x et à jr les deux variables p et q : dxdy doit être remplacé par
dp dq {df- t1 - ** Æ-, - M ,
* \dp dq dq dp J dp dq dp dq ri — s3
dx dy dy dx
dp dq
et l’intégrale proposée devient
dp dq
tt +p'+ q’,’
les limites correspondant à toutes les directions de la normale définie par les valeurs de p et de q qui correspondent à la surface entière. Mais il est aisé de voir que p et q, dans une surface convexe, prennent deux fois chaque système de valeurs, savoir aux points pour lesquels la normale est parallèle. L'intégrale précédente doit donc être écrite
On voit qu’elle est indépendante de la forme de la surface considérée.
I* Calr. int . tio
Pour la calculer, posons
• P uni g ■ i m.
En adoptant ainsi la transformation par laquelle on passe dans un plan des coordonnées rectangulaires en coordonnées polaires, dpdq devra être remplacé par pdod'a, et l’intégrale par
p dp
La géométrie rend d’ailleurs ce résultat évident : ^ représente en effet (I. 722
la eourbure totale de l’élément dv, c’est-à-dire la partie correspondante de la sphère de rayon unité, dont la surface totale est représentée par l'intégrale qu’on vient de calculer.
498. La transformation de coordonnées rectilignes en coordonnées polaires qui transforme le produit dxdydz en p* sin6 dp dQdty, a été généralisée par Jacobi. Soit une intégrale d’ordre n effectuée sur les variables x,, x,,..., ,r„. Posons
x, — p cos9„ x, = psinO, cos9„
.r, = p sin 0, sin 9, cos 9„
d’où il résulte
x, = psinO. sin 9,. . . sin9„„ x\ -t- x) -t- . . . -t-vxj = p’.
En élevant ces équations au carré et remplaçant p1 par sa valeur, elle»prcnnenl la forme indiquée (I, 77), et qui change le déterminant en un produit. La première en elfel devient
ou
la seconde
x] = (*! -t-xj-t-. . .-t- xi)cos’9, x | sin’9, = (x) 4- xJ 4- . . . 4- xj lcos’9,;
x} = (x;-t- xj-t-.. . 4- xj}sin’9, cos’9, (x) h 4-xJ)cos’9„
a:; sin’9, = (xj-t-x; 4-. .. 4- xJ)cos’9„
et de même
xJ sin’9, = (x’ 4- x) -t- . . . 4- xi) cos'9„
xi-, sln*©., = xi cos’9,„
