LIVHE SECOND. ~ APPLICATIONS ET DÉVELOPPEMENTS

el le déterminant est alors (I, 77)

dx dx, dx, dx, i d[x\) d(x\) d\x’„

dO, dô, (10,-, du v x,x,. . . x, dO, dO, ■ do

Chacune îles lettres x,, x devant être considérée comme constante dans les

dérivées de celles qui la précèdent, et en remarquant que

x{ -t- xJ -f * . 4- x„' = p1 sin’O,,

XÎ4-XJ+.. 4- xJ = p’ sin’ 0, sin'0, x| -i-.. . 4- xl — f' stn’O, sin'0, sin’0„

x’i 4- xi = p’ sin’0, sln'0,. . . sin’0..,, xi = p’sln’0, sin'O,.. . sin’0.„

on trouve, après des réductions faciles, la valeur de dx, dx2 . . . dx„ p"-'(sin0,)*-,(sin0l . . sin0,, dp rf0, d$,. . . </0„

qui, dans le cas de n = 3, se réduit à

p’sin0i</0,</0„

Différentiation et intégration sous

le

signe J ■

309. Une intégrale multiple qui contient un paramètre dont les limites sont indépendantes peut être difTércnliée par rapport a ce paramètre, et la règle est la même, aussi bien que la démonstration, que dans le cas d’une intégrale simple.

M. Liouvillc en a déduit la valeur d’une intégrale multiple dont il fait élégamment l'application à la démonstration d'un théorème célèbre.

Considérons l'intégrale

On a

dx, dx, .

s—'rr*”***

• • - I t/x, dx,

xtxt

Substituons à la variable .r, une autre variable y en posant

<?’ a 1 ^ dx,

yx, x, x, * * x,

dr

(ki.

fin DEUXIÈME PARTIE. - CALCUL INTÉGRAL.

Les limites de y sont » et zéro, et on a par conséquent

tin

e’esl-à-dire

d’où l’on déduit

./lt

; lt.

RasCe **.

dx, dy.

En posant « = o, C se réduit évidemment à l'( ^ ) 1(3 )’ c* on a onlin