LIVRE SECOND. - APPLICATIONS ET DÉVELOPPEMENTS

on it enfin

501. M. Liouville a déduit de eelle formule la démonstration du théorème de Gauss démontré déjà 29!» et (303 ;

r(5)r(«!)...r(r-,^!)^lw'rr(,!. '

Le produit qui forme le premier membre est égal en effet, comme on s'en assure en effectuant les intégrations successives, à l'intégrale multiple

Substituons à .r, une variable a en posant

>xnt x" ...x„

Jx, t/x,. . . dx„i

On en conclut

JT, X, . . Xm »

J— « . na*~*dtt

x, (tx, - - —

Le résultat de la substitution peut s’écrire

« ! Rtf1*-1 //rt,

%fO

c’est-à-dire, d’après la valeur de R.

n* us: ’ j e-"1 a*-' <la — n' ,(îr) * T y}, J O

ce qui démontre la formule de Gauss.

Théorème de Georges Green.

502. Nous devons placer ici, comme l’un des résultats les plus élégants et les plus féconds à la fois dans la théorie des intégrales multiples, un beau théorème de Georges Green relatif aux intégrales étendues à l’intérieur d’un volume quelconque. Si l’on désigne par U et par V deux fondions quelconques de trois coordonnées rectangulaires x, y, z, assujetties seulement à rester finies, ainsi que leurs coefficients différentiels, dans l'intérieur d'un volume terminé par une surface

i7K DEUXIÈME PARTIE. - CALCUL INTÉGRAL,

fermée, considérons l’expression

<iy'

^'jdxdydz+J’jdeV

dn '

dans laquelle la première intégrale s’élend à tous les éléments du volume, et la seconde, où du désigne l’élément de surface, à la surlace qui le termine, et où

enfin désigne comme (472 ; le rapport de l'accroissement infiniment petit dX

correspondant à un déplacement dn effectué sur la normale intérieure, à la longueur dn de ce déplacement.

La somme (t) ne change pas quand on y permute les deux fonctions U et V, cl elle est égale par conséquent à

Pour le démontrer, consid(>rons l’intégrale

If fdxdydz(l

d U dX dx dx

dU d V dy dy

rfü dX \ dï d; )

étendue à tous les éléments du volume considéré. Désignons par les indices

i, a, 4, \ an les intersections, au nombre de deux si elle est convexe, de la

surface qui limite le corps avec une parallèle à l’axe des X. L'intégration par parties donnera

f f fdxdydz

dV dX ilx dx

=ffdydz( -ff fdxdydz

dx

dx

Mais, en nommant de,, de,, ... deln les éléments de surface qui se projettent sur

le rectangle dydz, cl a,, a3 a2„ les angles de la normale extérieure avec l'axe

des X, on a

dydz ~ cosa,«</7,. — cosa„, den , — — de, cos a, .

et la première intégrale du second membre de (4) devient

f de V ~ cos x.

On a donc

J J rfx £ =J £ C0S3t -J J f‘lx<r<u U £ •

On trouverait de même

</li dV

dx dy dz U ~ i dr1

J J SJx 'h'd: <A dJr =J d° 15 <(»• f0S? ~J J /'

J jfdxdyd: J? £ £ cos'-fj f<l*<rdi U £ et, en ajoutant, l'expression (3) se trouve transformée en

r. ,,/rfv </v rfv \

J daV[dx cos* + ap cos^ + ai «"/J

Mais on a évidemment, en nommant x-t- dx, y -+- dy, z -+- dz les coordonnées de l’extrémité de la normale intérieure dn.

dx

dr

dz

cos« = — -, t cos 5 = — , cos y — — . -

dn dn ' du

et par conséquent

rfv rfV . rfV rfV

3SC0#“+ rfrcos?+ dzcos'f = -

dn

L’expression (5) ne diffère donc de (i) que par le signe, et puisqu'elle est égale à (3j, évidemment symétrique par rapport aux fonctions U et V, on peut y changer aussi ces deux fondions l'une dans l'autre.

On peut remarquer que dn désigne dans (i) l’élément de la normale intérieure. Si l’on veut le remplacer par l'élément de normale extérieure, il suffit de rfV

changer le signe de j-t et par conséquent celui de la seconde intégrale.

503. La démonstration précédente suppose aux fonctions U et V, ainsi qu’à leurs dérivées, des valeurs finies dans l'intérieur du volume considéré. Cette condition est indispensable, et si elle n'était pas remplie, les intégrations par parties sur lesquelles repose la démonstration ne seraient plus légitimes. Supposons, par exemple, que la fonction V restant finie et continue ainsi que scs dérivées, la fonction li, dans le voisinage d’un point intérieur P, puisse être considérée comme égale

à l’inverse - de la distance à ce point. Décrivons une sphère infiniment petite de

rayon a autour du point P comme centre. Le théorème est applicable évidemment

à la portion du corps extérieure à celle sphère, et comme on a

dx ’ 4 dy' f th ' —

l’intégrale triple

ffr. , , ,./</» U rf’li </> l!\

j J Jdxdrdz\(Tx, + -(r. + </;•)

peut cire étendue au volume tout entier. Il en est de même de

fffdxdydsvfg+^+ÿ;),

qui évidemment est pour l'étendue de la petite sphère un infiniment petit de l’ordre a1. L'intégrale

étendue à la surface de la sphère est également infiniment petite, de même ordre que le rayon a\ le seul terme à ajouter est donc

étendue il la surface de la petite sphère. On a

du dr r1’

c’est-à-dire, pour les points de la surface, — et par conséquent

f "*'■ dn = " \f‘l’ = ~ V- = " V”

VP désignant la valeur de la fonction V au point P, et l’on a enfin

(6) J J fdx dvd : ü (~ H- ’ÿ, + ) + fd* C ÿn

=/ // v (£? + If + ï“) + //* v S - v-

C'est le théorème de Georges Green.