LIVRE SECOND. - APPLICATIONS LT DÉVELOPPEMENTS. 4SI

501. Parmi les applications du théorème de Green, nous devons citer immédiatement la démonstration très-simple des propriétés des surfaces de niveau démontrées directement (476) d’après M. Chasles, qui les a trouvées indépendamment de lui, mais postérieurement à la publication de l'illustre géomètre.

Soient V, cl V, deux fonctions finies et continues des coordonnées x,y, s d’un point de l'espace* la première donnée pour les points intérieurs à une surlace fermée S, et la seconde pour les points extérieurs. Supposons que pour les points mêmes de S les deux fonctions soient égales, et que de plus on ait

dx’ dy' dz’ °’

i/’V, rf*V, d‘\,

dx' ' dy * dz' °*

Admettons enfin que, pour les points situés à une distance infinie, V, soit .infiniment petit de même ordre que l’inverse ^ de la distance il l’origine, et les dérivées -j; de même ordre que yt\ un peut attribuer à chaque élé-

ment clcr de la surface S une masse pda telle, que le potentiel de la surface sur les points extérieurs soit égal à V„ et le potentiel sur les points intérieurs égal à V, ; la valeur de p qui remplit cette condition est

i ( dV, dV,\

P=~ 'F:\~dn + ~dn )'

V, et V, désignant ce que deviennent les fonctions V, et V, pour les points de la

surface S, et les dérivées

est pour la première une portion infiniment petite de la normale intérieure, et pour la seconde une portion infiniment petite de la normale extérieure.

Pour démontrer ce remarquable théorème, appliquons d’abord la formule de

GrecD, en y supposant V = V,, U = r étant la distance à un point M intérieur

ayant la signification indiquée (472), où dit

à S, et étendant les intégrales triples à la portion de l'espace intérieure à S; comme on a, par hypothèse,

d<\, d'V , d'V, dx' + dy' + dz’

et (470)

dx' dy' dz'