I. Cale. int. (H

■Wi

l'équation (6) se réduit à

-jr- du — 4ir\", ,

V, désignant ce que devient V, pour les points de la surface S, et V, la valeur que prend celte fonction au point M.

En appliquant le même théorème à la portion de l’espace comprise entre la surface S et une sphère de rayon infini, et remplaçant cette fois la fonction V par V5,

on aura, en remarquant que ne devient pas infini,

rfV,

du

car la portion de l’intégrale relative aux éléments de la sphère de rayon infini est évidemment égale à zéro.

Si l'on ajoute les équations (7} et (8), en remarquant que V, = V,, et que les

éléments du étant pris dans des directions opposées, les valeurs de sont égales et de signes contraires, on aura

/(ït + Ï)t .<*T"

•.XI- . ' /'rfV, , </V,\

c est-à-dire, en posant - ) = P<

ce qui montre que le potentiel de la couche de densité p sur le point quelconque M de son intérieur est égal à la valeur V”, que prend en ce point la fonction V,.

On prouvera absolument de même en plaçant le point M à l’extérieur, que le potentiel de la même couche sur les points extérieurs est représenté par V,.

505. Considérons actuellement une masse attirante quelconque et une de ses surfaces de niveau S sur laquelle le potentiel ait une valeur C. Soit V' le potentiel de la portion de masse extérieure à S, et V" celui de la portion intérieure, on aura

et, pour les points de S,