LIVRE SECOND. - APPLICATIONS ET DÉVELOPPEMENTS. 4K
Appliquons le théorème précédent, en prenant
les deux fonctions V, et V, satisfont évidemment aux conditions supposées (504 ). et par conséquent, en prenant
• __ i (dV, dV,\ i fd\! d\i\
4tt \ dn + dn )~fa\dn dn )'
on obtiendra une couche dont le potentiel sur les points extérieurs sera V", et sur les points intérieurs C — V'; celte couche attirera par conséquent les points extérieurs comme la portion de masse qui lui est intérieure, et son action sur les points intérieurs sera égale et contraire à celle de la portion de masse qui lui est extérieure.
Dans la différence
dn dn
il faut remarquer que l’élément dn de la normale a dans les deux termes une direction opposée; si l’on veut adopter pour les deux dérivées la direction de la normale intérieure, l’expression (i i) devient
dV’ dV dV dn dn dn '
et la densité de la couche, égale à
1 rfV 4* dn ’
pst, on le voit, proportionnelle à l’intensité de l’attraction en chaque point.
Théorème de AI. Crofton.
506. Nous indiquerons, pour terminer ce chapitre, un théorème d’une rare élégance découvert par M. Crofton et dont l’ingénieuse démonstration accroît singulièrement l’intérêt. Quoique l’auteur ait su la rendre indépendante du calcul des probabilités, c’est en s'appuyant sur les premiers principes de cette doctrine qu'on peut lui donner, je crois, la forme la plus simple et la plus nette.
Concevons sur un plan une série de lignes parallèles équidistantes et supposons que l’on projette au hasard sur ce plan un disque de forme convexe de dimensions
assez petites pour ne pouvoir pas rencontrer «leux lignes à la fois. Quelle est la probabilité pour que ce disque en rencontre une et la recouvre en partie? Indépendante de la forme du disque, comme l’a ingénieusement remarqué M. E. Barbier, elle est la même pour tous ceux qui ont même périmètre. Il est clair, en effet, que le disque étant jeté au hasard, les éléments infiniment petits qui composent son contour ont chacun la même chance de se trouver sur l’une des parallèles. Si un avantage était attaché à la rencontre, celui qui l'attend pourrait équitablement vendre à prix égaux les chances relatives à chaque élément de longueur ds et suivant un tarif tel que la somme totale dès prix représentât le double de la somme promise en cas de rencontre, car, d'après la forme du disque', s'il y a un élément gagnant, il y en aura nécessairement deux, ni plus ni moins.
Cela posé, la distance des parallèles étant sa, si le disque est un cercle de rayon r, la probabilité pour qu’il y ait rencontre est évidemment -i car il faut et il suffit pour cela que le centre se trouve à une distance moindre que r de l’une des parallèles entre lesquelles il est tombé, et que, par conséquent, sur une distance sa dont tous les points sont également possibles, le centre du cercle se place dans une portion dont la longueur totale est sr.
Si l’on nomme L le périmètre de la circonférence, on a
L = sitr,
et la probabilité demandée est par conséquent
Telle est la formule relative à une courbe convexe quelconque de périmètre L. Une ligne droite ou aiguille de longueur / doit être évidemment considérée comme une courbe fermée de longueur si.
507. La formule (t) suppose an disque projeté une forme convexe qui ne permette pas à son contour d être coupé en plus de deux points par une ligne droite. Si l’on calcule au lieu de la probabilité p Yespérance mathématique E d’un joueur qui, pour chaque intersection du contour du disque avec une des lignes tracées sur le papier, recevrait une somme égale h un, on aura évidemment, dans le cas du disque convexe.
mais cette formule s’applique alors k une courbe de forme quelconque que l'on projette sur l'ensemble des lignes parallèles. En nommant L sa longueur totale cl supposant que chaque intersection avec l’une des parallèles soit payée un franc.
Il est clair, en effet, qu’à chaque élément correspond une espérance mathématique indépendante de sa liaison avec, les autres, et que l’espérance totale dépend par conséquent de la seule longueur L.
508. Supposons que la figure projetée sur l’ensemble des parallèles se compose de deux courbes convexes invariablement liées l'une à l'autre et cherchons la probabilité pour que toutes deux soient rencontrées par une même ligne, en admettant que, d'après l’écartement des parallèles, la rencontre simultanée avec deux d’entre elles soit impossible.
Menons aux deux courbes les tangentes communes croisées P, P,, P, P,, et supposons que l’on projette la figure P, MP, P, NP, P,. En nommant X sa longueur
totale et supposant que chaque intersection avec l'une des parallèles soit payée un franc, l'espérance mathématique relative à une épreuve est
«ir
Les sommes éventuelles auxquelles se rapporte cette espérance mathématique comprennent toutes celles que l’on pourrait toucher s'il était convenu qu’il sera payé quatre francs chaque fois que les deux courbes seront simultanément rencontrées par une des parallèles, mais elles en contiennent d'autres aussi, et il est aisé de voir que ces dernières sont distinguées par celle circonstance qu’elles correspondent à deux intersections seulement de contour P, MP, P,NP, P,, tandis que les lignes qui rencontrent à la fois les deux courbes données coupent nécessairement ce contour en quatre points. D’un autre côté, il est évident aussi que les lignes qui rencontrent ce contour en deux points seulement coupent aussi en deux points le contour T, T, NT, T, MT,, formé par les deux tangentes T, T,, T, T, et les arcs T, MT,, T, NT, qui réunissent leurs points de contact, les positions pour lesquelles le premier contour P, MP, P, NP,P, offre quatre intersections, en
m DEUXIÈME PARTIE. - CALCUL INTÉGRAL,
fournissent également deux pour le second, de sorte que si de l’espérance mathématique relative au premier on retranche celle qui se rapporte au second, on aura l'espérance mathématique d'un joueur qui devrait recevoir deux francs à chaque fois que le système des deux courbes serait rencontré par une des parallèles. Si donc on nomme es la probabilité de cette double rencontre cl Y la longueur du contour T, MT, T, NT,, on aura
