I. Cale. rut
on en déduit
I * dx l> i x1 i /r — a tir J ' itx
J x’ z la z ax va1 J Z
Ç dx h / 4» c\ ; x -■ /lAr />' ! 'dx
J x1 : a’x aux' \a(,J aa > z \ ia‘ an* / J z
Ç ilx b' — a OC..X3 i 6 /A' r \ i an’e* — 4 ah1 r -+- b' Ç dx
,/ x' z in’ z 3 ax“ ia‘x‘ \a‘ a1 ! x an1 ;
el ainsi de suite.
L’intégrale j • à laquelle toutes les autres se trouvent ainsi réduites, a été donnée (23). On a
ilx :
— l — : ; — -x- - arc lang
+ bx + i X V^4 «< V4 ne - t>
y tb*- \m
log
2<’X+ b — ^b1 — 4 ac \'a -t- b x 4- ex1
— 2 . •} irx-t- /»
— - secl. hjp. col — =. •
yi1 — 4 ne \b* — 4 flr
10. On peu I former des formules de réduction analogues pour les différentielles dans lesquelles figurent les puissances du trinôme (a 4- brn 4- c.r-" .
On a identiquement
(1) -(j- x”(a+bx* -\-cxuf x ~ nuf 1 (a 4- ftx" 4- cxlH‘f 4 pxr n b x” ' 4-a ncx* ,)(tf4-ô.r*H-Cjr,v* • =: maxm * (<z 4- bxu +- cxi*)r- • 4~ (m 4- np) 1 (<1 4- for* 4- ex*)*’ •
4“ ( m 4- *np) *(n 4- bx" 4~ cxin\* \
En intégrant les deux membres et posant, pour abréger, a 4- bx" 4- cx7H = -, x* z* ma j x~ ' zr ' //.r 4- ( m 4- np ) h j r* ** ‘ z? ' */.r 4- ( «1 4- 2 np } c j x“*'in z ? ' dx. On en déduit, en remplaçant/) par/) -4- 1,
/ . X" 4 Wl-Mt I4«! / .
I Xm 1 Zf dx = ~ Z>’*1 — — ' • I .!“•+“ * 2/1 t/j
f am um !
c [iw 4- an(i 4-
1 2^' dx.
et en posant /« 4- an = m1 et p — 1 = //, résolvant par rapport à la seconde
LIVRE PREMIER. - INTEGRALES REUNIES ET INDÉFINIES, intégrale «lu second membre et supprimant les accents.
i , a(m — vni> i ,
I jc" ' zr dx - . zr"' ; ' . I J" zr dx
J <• ( ni -+- in/i c [m + mpj
bl ni h n [ /> — i | i ilm + îno; I
x~ " 1 zr dx.
On peut d'ailleurs vérifier directement, par la différentiation des deux membres, les deux formules analogues et plus simples
(4) fx" ' z? dx Z* 1 zr ' dx — *tn ^ j x“-“ ‘ zr ' dx. i ni ni .1 ni .J
, „ i . t- >f „ ni - an /’
I > ) | x 1 zr dx If' j .1
J irn^p + 1) îcif+ij
1 zr *• dx
— — I J*—"-' zr dx.
ne J
I/équation (3), résolue par rapport à la première des intégrales qui figurent dans le second membre, donne
f . ,r* •" zr+‘ swi(»4 i i' , />n+i/’ ,
I x" >< ' zr*' dx — — — * / x"‘ ' zr dx |i" “ ' zr dx.
i m—znp m — an/i I ni — mn '
Mais on a
• ■ ' bzr nzr
la -+- nj" + ta’“ , je ** “ .
Remplaçant x"-' zp par eetle valeur dans la première intégrale, posant m + 2« - 1 = m' et p +- 1 = p‘ et supprimant les accents,
I x~ ' zrdx zr 4 t—
ni — nnp +1 ni — znp
t fx- 'zr 'dx
hnV fx dx.
t — 2 un -h I !
Si l’on résout par rapport à la seconde intégrale du second membre, en posant m' -4- n = ni" et p' — 1 = p” et supprimant les accents.
, , /* , xm ‘ m + n(îii + i) Ç
(7)1 xm~' zr dx —— L ,jf • H I ,
+ n<3P-t-,> t\~ - 'zr~'dx-- fx- - -
zr dx.
41. Si l’on suppose n = 1 et par conséquent a 4- bx ‘-hcx' = on trouvera, à l'aide des formules précédentes, des formules qui permettront de ramener les inlé-
, /’ dx f dx . C dx . . /’ dx
grales f f a f — et a f
Les intégrales j j ’ f- ■ auxquelles les autres se ramènent, devront être calculées directement par la décomposition en fractions simples.
On a, en posant m = —
rd.V I / I XI t\
— — r ( - arc tang arc tang — ]»
a 4- ox- 4- ex' Jq \n n m m }
et si b‘ — l\ac est négatif, en posant k = \‘/ -, cos 20 =
Ve 2 yac
/dx 1 / x!+ alîrx coso -t- A ‘ 2 hx sin v\
a + bx’ -r- ex' — 8cA’ cos ip \ x’ — aAxeos? + h' 4" 1C0lli> arc *®n8 x: )
On a enfin
A -+- •> ex’
»rc tang - — — ,
2 V<; b -+- 3 ex’ ■+• V,— ?
/xdz 1 1 b + tl ex' — \/q 1
a - Ax’ + ex' 2 y g b -+- 2 ex’ -t- yq y1— 4
P x! <lx 1 / x x\
I — - , -, , = ^ I m are tang n arc tang - I
,/o + bx’+ ex’ J„ \ m 0 n J
X’ — 2l,X COSÇ -t- h ■
1 x!— afrxcoss 4- A’ 2Axsino\
= *r loe > — T , + 2 cote arc tang -j-
BAccosçV e x*4- aAxcosç -t- le T B A‘ — x‘ )
