Considérons la série très-célèbre

et, en la supposant convergente, proposons-nous de la convertir en intégrale

définie.

On a 293;

r. a -I- I) 1 rt« ’

nj + it

49fi ' DEUXIÈME PARUE. - CALCUL INTÉGRAI.,

et le coefficient il u IcrriiR général de la série est par conséquent

Tig + n r.p-t-nïriy Tfa-t-in l'y f j-wi -F' y — (3 :

■ rtp) +»! riaifin-m r p’'i\y — pl riy+m

c’cst-à-dirc (322)

ri a n T y Ç

ra r « -h i r > r y — p

el par conséquent, en faisant entrer j. ^ \ , sous 'P signe f > la série (a) esl

égale à

r i y 1 (" " I r « + ii ra-t-atn’x1

r p riy-p X L • T'a r a I.a

La série placée entre parenthèses sous le signe d'intégration est égale à

i -1 1- «’ aR H 3 «* x1 H

Elle représente le développement de (i — ux r*: on a donc enfin

a^ aia + c ^ 3 T;X

1 i.y i.a.yiy-t-i

ripSy-p J0

Si l'on suppose x = i , il vient

a. p afa-t-i p p i)

i.a. y y-t-ij

r.piIVy-pi ly-pjTy-a

celle formule n'étant exacte, bien entendu, que lorsque le premier membre est une série convergente, c'est-à-dire lorsque ! 1 , 212 a -h jS esl moindre que y 4- i . On a (322)

— l'y Il

par conséquent la formule (3) peut s’écrire

| — ii an» Hn

i.y i.a. yty-t-. r>

I «>-' i — H 1 ml