LIVRE SECOND. - APPLICATIONS ET DÉVELOPPEMENTS. 4«.W

ment de

En réunissant les termes également distants des extrêmes, ce développement prend la forme

A. + A, cos a a + A, ens4a -t-. . . -t- A. eos*n x,

cl A, est précisément le eoeflicient que nous voulons calculer.

On a, quel que soit le nombre entier k.

par conséquent

on en déduit

I cos a k x <1 x = o ;

•jf+l Z'1

A, - — | COS" X(/x, 77 Jn

et le problème est ainsi résolu.

521. Poisson a résolu, en suivant une marche analogue, un problème beaucoup moins simple qui s'est présenté à lui à l’occasion du calcul des probabilités. Considérons le produit

G; (up, + vq, )(*/>, 4- vÿ,i. . . upf + vqt I.

I.e coefficient de y représente la probabilité pour que, sur p épreuves assignant à deux événements contraires A et B les probabilités successives p,, q,, p ,,

q, p„, q„, le premier arrive m fois et le second n fois.

Pour transformer ce coefficient en une intégrale définie, posons

le produit umva deviendra et tous les autres termes renferment des expo-

nentielles différentes, car la somme m -+- n est la même pour tous et égale b fi. Si donc on désigne par X ce que devient le produit (6) après la substitution f 7), le coefficient cherché U est égal, on le voit aisément, à

Xe-(— )•»'- dx.

On a, en effet, pour toutes 1rs valeurs inégales de m cl de m.

cl pour m — m\

j r. e"'» -• Jx =n ilx = n.

La formule H) donne donc une solution du problème : on peut en éliminer les imaginaires.

On a, à cause de p, +ÿ,-= i.

Soit

Pi -+- y, e-*é -■ cos j -+- i

cos’x -t- p, — qt sin'x r- 0;

COSX = cos»„

sinx — sinç,.

p. — q. \l~ i sinx.

i — 4 Pi </à sin'x.

il en résultera et si l'on fait

«p, H- ci/,- = a, eî

le produit désigné par X deviendra

X — Ver.' 1,

et l’expression (8; du coefficient cherché est par conséquent

i r* .ci, /•■

a__ j Y cos [ )• — ' m — « x </x 4- -- | Y sin v — m — n xjrfx.

La seconde intégrale est nécessairement nulle puisque le coefficient U est réel. On peut voir qu’en effet elle se compose d’éléments égaux deux à deux et de signes contraires, et l’on a colin, pour l'expression cherchée,

îl

(ti) 0= ' | Y cos' r — ni — h x ilx - I Y COS r — ni — Il x]ilx,

et l’intégration pourra s’effectuer par les règles les plus simples du calcul intégral.