LIVRE SECOND. - AI’I'LIC ATR >NS ET DÊ\ KLOl’PEMENTS

On déduit aussi de (17

P„=? f 'llsin«5rf9.

et, en remplaçant dans ees équations G et II par leurs valeurs, ou a les deux expressions de P„ :

1/ cos-Ocosni C sin-OcosnO

«e o ^2(cos6 — coso) v'i(cos9 — cosO)

I f sin- 0 sin nO Ç eos'flsinnü

[P.=-a I rfü+ï / -,rf9.

\ fci-'o vaicosO — cosol c yïjcosip — cosO;

La valeur de P„ serait donnée par la première de ees équations, dans laquelle, après avoir fait n — o, il faudra diviser le second membre par 2.

Solution d'un problème plus général.

524. Laplacc a résolu un problème plus général et indéterminé comme le précédent :

Exprimer par des intégrales définies te coefficient de x " dans te développement suivant les puissances de x de /'expression

{«,4- a, x 4- a, x' 4- . . . 4- am x")r.

Posons

(«,4-H|i4-«,i'+. .4a,jJ,)f=;}',+j',r4/,i'4...4)'1s,4...|

prenons les logarithmes des deux membres et égalons les dérivées par rapport à x : nous aurons

j*( a, 4- ia, x 4- , . 4 -mamx“-') y, 4- -s- . . . 4- ny. x"-1 4- ..

«,+ «ii + ii,r' + . . 4- a. xm ~~ y, 4- y, x 4- y, x’ 4- . . . 4- y. x" 4- . . .

En chassant les dénominateurs et égalant le coefficient de x"-1 dans les deux membres, on trouve la relation

I 1 na.y.-b (n — i)«,/„-,4-...4-(n — m) = p(«,.tV-i 4- 7a,y.„,-t- ... 4- nui.y.