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Fonctions génératrices d' Abel.

526. Abel a résolu plusieurs problèmes de la nature de ceux auquel est consacré ce chapitre en substituant à la recherche d’une fonction inconnue celle d’une autre fonction que, suivant une analogie déjà signalée par Laplace, il nomme la fonction génératrice.

Si l’on a

F(s)i Iz,

Ffs) est nommée la fonction génératrice de o x ; . ?'.r) est la déterminante de F(s).

Abel ne s'est nullement occupé de rechercher s'il est vrai qu'à tonte fonction correspond une fonction génératrice, ni à plus forte raison comment une fonction étant donnée, on peut en trouver la fonction génératrice.

Un géomètre anglais, Murphy, a donné de ce problème une solution qui, malgré les cas d'exception très-nombreux qu’elle présente, mérite d’être rapportée.

Si l'on a

?(*) = I e~"F(s)ds,

en posant e~* = t et nommant ti({t ce que devient F(s), on en conclura

9 tx)—.f n-'ty{t)dt.

Murphy énonce le théorème suivant :

La fonction est le coefficient de ^ dans le développement de <f(x) t~x en série ordonnée suivant les puissances de x.

Supposons, en effet, que f’x, soit développable en série de la forme

On a identiquement

/*— dt

dt

?(rt) x — a

Développons les deux membres suivant les puissances de ' et égalons les coeffi-

,’ilO DEUXIÈME PARTIE. - CALCUL INTÉGRAI

cienls de -■ On aura, en nommant T le coefficient de ^ dans le développement de