LIVRE SECOND. — APPLICATIONS ET DÉVELOPPEMENTS

MI

est

On a, en effet ,

:e-/#= tm.

/• /*-■ di = — —

528. Cherchons encore à déterminer <J//) par la condition f <llt)t,-‘dl -t — - — -•

Ja. (-r + *r

<Sf(t) est, d’après le théorème de Murphy, le coefficient de - dans le développement

de ■ Or, on a

(x -t- af xm \ x) x**' ”+' l.a i**1

I,e coefficient de - est

(-jrior-: /,+„«+ + ...) = 4^ J,

et l’on a

f ' 'üf

En remplaçant le produit i.a.3... m — t) par r(/rc;, on obtient une formule exacte quel que soit m.

Solution de quelques problèmes.

529. Problème I. — Trouver une fonction q[t) telle, que Ton ait , pour toutes les valeurs entières de n inférieures à un nombre donné m,

( q(l) t* dt — o.

Jo

l.e problème étant indéterminé, nous pouvons supposer à la fonction f (tj une

forme particulière

ç( /) ■= I -4- Ai / A*/*,

en y introduisant, pour rendre la solution déterminée, un nombre m de coefficients précisément égal au nombre des conditions à remplir.

On a

« 4- ni 4- i

l.e second membre est une fraction rationnelle ayaht pour dénominateur

(n4-i){«4-a) . . (n 4- ni 4- 1),

et, comme il doit s’annuler pour n = o, n = i,..., n = m— i, il faut que le numérateur soit de la forme

Cnfn — i). . . (n — ni 4- 1).

Posons donc

il 4- i n 4- a n 4- m 4- 1 (#4- i|(n + i).. |» + m + i

et, en décomposant le second membre en fractions simples, on obtiendra, par

l'identification du résultat avec le premier membre, les valeurs de C, A,, A,

Am, savoir :

„ , . m(ni4-i) . m(m — i )> ni 4- 1 1 1 m 4- j)

U=( — i;-, Ai — — ■» A • ~ l • »

#«{m — i)(ni — a) (m 4- i)(m 4- a) (m 4-3) i . a . 3 i . x . 3

en sorte que

w(m-H)) fn(m — i) (m 4- »)( m 4- a 1 (t i . i i.a i.a

m ( m — i ) ( ni — a ) ( m 4- 1 m 4- a ) ( m 4- 3 )

et l'on reconnaît dans le second membre la dérivée m'*’"' du produit

ml ni — i )

/" i — m/4 -zfc/-

i </" /-fi — » )■

i . a 3 . .ni «fi*

ce qui s’accorde avec (369;.