II) 1 TT V

i rR i /,R

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La fonction ®(s. °é devenant infinie pour aucune valeur de s correspondant au contour de l’un ou de l’autre cercle, les coefficients de cette formule sont finis et l’on voit que <y(«) est développable en série ordonnée suivant les puissances positives ou négatives de la variable.

La démonstration n’impose à a qu’une seule condition, celle d’avoir un module compris entre R' et R". Si la fonction considérée ne devient infinie pour aucune valeur de 2 de module inférieur à R', l’intégrale

I s—‘<f(t)dz

est égale à zéro, et l'on retrouve le développement suivant les puissances positives de la variable.

Quelques propriétés des fonctions bien définies.

535. La possibilité de développer en série convergente toute fonction fiuie et bien déterminée d’une variable entraîne des conséquences très-importantes dont l’influence sur l’étude générale des fonctions et sur l'ensemble du calcul intégral devient chaque jour plus considérable. *

Nous indiquerons dès à présent quelques-uns de ces théorèmes et dont nous aurons à signaler plus d'une conséquence.

Lorsqu’une fonction f (s) d'une variable z s’annule pour une valeur z — a de la variable, a est une racine de l'équation

et si la fraction

, prend pour z = a une valeur finie, le degré de multiplicité de a est m.

Quand la fonction ç z , est bien déterminée, le degré de multiplicité de chaque racine est toujours un nombre entier.

Décrivons en effet autour du point qui correspond à s = « un cercle assez petit pour que la valeur de j's) relative à aucun point de son intérieur ne soit infinie.

posons