LIVRE SECOND. - APPLICATIONS ET DÉVELOPPEMENTS

f|i) = ç(i + : - ot).

Nil

et développons cette fonction suivant les puissances de a — a, nous aurons, puisque

(i3) ç(i) = 9'(a)(* — aH-ç'fa)1--— °! H rf- <?*(a) ~ -*

et la série est convergente (531 , pour toutes les valeurs de z qui correspondent aux points de l’intérieur du cercle. On en conclut évidemment que. si f'(a') n’est

pas nul, a une valeur finie pour z — a, et que a est une racine simple. Si

SX m

vis) • o” ‘ X ' , •

ç'(ar) est nul, . rzî x ** réduit pour z = a à ■ et « est une racine double. Si

ç"(a) est nul, ."~a se réduit pour z = a à et a est une racine triple, lin

général, si les m — i premières dérivées de ç(zj s’annulent pour z = a, le degré de multiplicité de la racine est précisément égal à m.

Il est impossible d'ailleurs que toutes les dérivées soient nullcs à la Ibis, car le second membre de la formule (i3j se réduirait à zéro, et l'on aurait, pour toute valeur de z, f(z) =o.

536. Le théorème précédent, pour être bien compris, ne doit pas être séparé des explications données (I, 373, sur la définition d’une fonction bien définie. On peut aisément former en effet des équations dont les racines aient un degré de multiplicité fractionnaire ou même infiniment petit. Ainsi, par exemple, a. est racine do

et le degré de multiplicité est ^ dans le premier cas et infiniment petit dans le

second. Mais notre théorème ne s’applique plus ici, parce que les fonctions y s — ce et l(z — a) ne sont pas des fonctions bien définies.

537. Si ce,, a,,..., a„ sont racines simples d’une même équation 9(z) = o, ou aura évidemment

<ji( s) étant une fonction bien définie qui ne s'annule pour aucune des valeurs a,, a,,..., a„ de la variable.

Le théorème s'étend au cas où les racines sont multiples, pourvu que l’on rc-(