I. Cale. tnt

garde une racine du degré de multiplicité m comme la réunion de m racines égales entre elles, et le facteur ( x — a\m étant alors remplacé par m facteurs égaux ii x — a.

538. Lorsque la fonction f (zj devient infinie pour une valeur z —a de la va^ rialde, a est racine de l’équation

et le degré de multiplicité de cette racine est un nombre entier. Si nous le désignons par rn, la fraction

aura pour z = a une valeur finie, et par conséquent le produit

?(*)(* — af

prendra lui-mème une valeur finie pour z — a, et comme il est évidemment fonction bien déterminée de z, il sera développable en série convergente ordonnée suivant les puissances de : — a, représentant exactement la fonction pour toutes les valeurs de s qui correspondent à l’intérieur d’un cercle suffisamment petit. Soit

p(î)(ï — a " = A. •+ A,( : — «) -t- A,{i — a A. (i — ap

on en conclura

(s — ajr~' ■

t y zj étant une fonction bien déterminée qui ne devient pas infinie pour z = a.

539. Toute fonction bien déterminée devient nécessairement infinie /mur une valeur finie ou infinie de la variable.

Soit f(s) une fonction bien déterminée et supposons que pour toute valeur finie ou infinie de z son module soit inférieur à une limite finie M.

Décrivons un cercle de rayon arbitraire K ayant pour centre l’origine des coordonnées. La fonction ç (s) est développable eu série convergente ordonnée suivant les puissances de z et applicable à toutes les valeurs (531) qui correspondent à l'intérieur du cercle. Un en conclut (532)

o*(o) i To(z)dz

i.a... n~ asV— i •'

l'intégrale du second membre étant prise le long de la circonférènce du cercle île