On déduit du théorème précédent que toute équation

dont le premier membre est une fonction bien déterminée , a nécessairement une

racine au moins. Si en effet la fonction ç a; est bien déterminée, — — l'est néces-

sairement aussi et il peut donc devenir infini 539), et par conséquent <p z) peut devenir nul.

541. Les racines d’une équation peuvent être en nombre infini, mais elles ne peuvent jamais former une suite continue correspondant il tous les points d’une

■’iîl DEUXIEME PARTIE. - CALCUL INTÉGRAL.

courbe tracée sur le plan. S'il existait en effet une telle courbe, la racine a qui

correspond à l’un de ses points serait évidemment de degré infini, car.

serait nul quel que soit m pour une valeur de s aussi voisine de a. que l’on voudra et correspondant à un point voisin de la courbe qui représente les racines, et cette hypothèse (535 ) ne peut pas être admise.

542. Lorsque deux fondions bien définies <f{z) et ’Sf' z ) sont telles que les équations

'jqz) = o,

aient les mêmes racines avec le même degré de multiplicité, le rapport esl égal à une constante.

Si en effet le rapport n’est pas constant, il est lui-même une fonction bien

définie de z qui doit nécessairement devenir nulle et infinie. Mais cela ne peut avoir lieu évidemment que pour les valeurs de s qui sont racines des équations ( 1 4)* et, pour celles-là, le degré de multiplicité étant par hypothèse le même pour les

deux fonctions, le rapport t- a une valeur finie.

Il faut bien remarquer que le théorème précédent ne s'appliquerait pas si les fonctions f(z) et tj» s) devenaient nulles ou infinies pour des valeurs infinies de la variable. La fonction e* par exemple ne devient nulle ou infinie que pour des valeurs infinies de z, et par conséquent, si l’on ne tient pas compte des racines infinies, les deux fonctions f dz) et e'çfs) deviendraient nulles et infinies pour les mêmes valeurs de =, et leur rapport cependant n’est pas constant.

Série de Lagrange.

5V3. Soit l’équation

(«5) u = x-i-af(n).

Nous avons donné (I, 313) le développement de l’une de scs racines en série ordonnée suivant les puissances de a. Nous pouvons maintenant préciser davantage les conditions de convergence de la série et le caractère de la racine représentée par le développement. Si nous posons u — x= z, l’équation (t5) devient

(il») t = -*-*)•