LIVRE SECOND. - APPLICATIONS ET DÉVRLOPPEM KNTS

Nous démontrerons d'abord le théorème suivant, sur lequel M. Rouclié. profitant habilement des belles recherches de Cauchy sur le même sujet, a fondé une démonstration très-simple et très-nette de la formule de Lagrange.

Si la constante et est telle, que. pour toute valeur de z dont le module est égal à r, la fonction

ait un module moindre que l'unité, et que de plus <f(x -+- z) soit finie et bien déterminée pour les valeurs de z dont le module est inférieur à r, l'équation (iti), où l'on considère s comme inconnue, aura une racine, et une seule, de module inférieur (t r.

Soient en effet s,, s, i„ les racines égales ou inégales dont le module est

inférieur à r, on aura 537)

{17) Z — x <f!x ï) = I*— J, i(z— S,).. . !i — J,) ij-tï), .

<j/(s) étant une fonction bien déterminée et finie et qui ne s'annule pas pour les valeurs de s dont le module est moindre que r.

On déduit de là

(18) / SH - /<{,(*)= Hz - *.) -*- /(* - a.) +. . .+ /(*

et en différentianl

, d xo(x -4- z)\ 1/ 1 1

Zm) — II,

Attribuons à s l’une quelconque des valeurs dont le module est r, ayant par hypothèse un module moindre que l'unité, est déve-

loppable en série ordonnée suivant les puissances croissantes de — *- ~ . et

comme q (x-hs) a été supposé fini et continu pour les valeurs de z dont le module est moindre que r, il est lui-même développable en série ordonnée suivant les puissances de s, et par conséquent

donnera une série ordonnée suivant les puissances entières, positives ou négatives de »,

<!<fs) étant aussi fini ri bien déterminé pour les valeurs de s dont le module est inférieur à r, /^(a; est développable (531) en série ordonnée suivant les puissances entières et positives de z, la fonction dont la dérivée forme le premier membre de (19) étant développable en série ordonnée suivant les puissances de s.

sa dérivée ne contient pas de terme en ' • et le coefficient de ' dans le développement du second membre doit par conséquent être aussi égal h 7.éro; mais z,, s,

zm ayant par hypothèse des modules inférieurs à celui de s, les fractions qui figurent dans le second membre sont développables en séries convergentes, et l’on a

Le coefficient de ^ dans le second membre est donc, égal à m— 1, et, puiqu’il est nul, on doit avoir

544. Les conditions du théorème précédent étant supposées satisfaites, si l’on désigne par z, la racine unique de l'équation (if>; dont le module est inférieur à r, et par F(a--t-a) une fonction bien déterminée, finie et continue pour les valeurs de s dont le module ne surpasse pas r, Ffar-t- z,) sera développable en série convergente par la formule

(ïo)

F(x-4-i,) = F j- ) + - F' x fi x)-td—'

-+- -r—, [F'urWljr ]’ -t- ••••

lIX—' T 1

Puisqu’il n’existe qu’une seule racine z, de module inférieur il r, l’équation (18 ; du numéro précédent devient en effet

/ î2i£±fJ] / *{,) = / (, - fj ;

d’où, en multipliant par F'(:r-t-sj,

(ai) F'(» ■+■ j)/£i — F'iar-t- * )/<|»(a) = F'(x + t)l

Si nous donnons à z le module r, les deux membres seront développables en série ordonnée suivant les puissances de Calculons les coefficients de ^ pour égaler leurs valeurs.