Nous avons rencontré déjà plusieurs séries de la forme

A, 4 A, sinx 4- A, sinax 4- . . . 4- A„sinnx 4, . . ,

mais les conditions de convergence et d’exactitude n'ont pas été discutées, et la démonstration fondée sur l’emploi d’expressions imaginaires n’aurait pu être rendue rigoureuse qu’en anticipant sur quelques-unes des théories exposées dans ce volume.

Nous allons reprendre dans sa généralité cette théorie importante et démontrer le théorème suivant :

Une fonction réelle <flx) peut toujours être représentée pour les valeurs réelles de x comprises entre —r. et -t- n par une série de la forme

A, 4- A, sinx- 4- A, sin a.r 4- . . . 4- A.sin nx + ...

4 B, cosx 4- B, cosix 4- • . . 4- B„ cosnx 4-

Commençons par admettre la possibilité du développement, nous déterminerons, dans cette hypothèse, les coeflicieuts des différents termes pour prouver ensuite l’exactitude de la formule obtenue.

Soit donc l’équation

( 25) <j;(x) = A. 4 A, sinx 4- A, sin ax 4 . . . 4 A.sin nx 4- . . .

4 B, cosx 4 B, cosax 4 ... 4 B, cosnx 4 . . . .

Multiplions les deux membres par sinnxdU- et intégrons entre les limites x = — x = !+•», on a, quels que soient les nombres entiers m el n,

I sinitx sin mxdx = u,

| sinnxrosmx dx = o, I sin’nxi/x = r;

LIVRE SECOND. — APPLICATIONS ET DÉVELOPPEMENTS, et par conséquent l’équation < a5) donne

Sift

Ç çf i ) siniu* dx = ït A».

En multipliant les deux membres de (afi. par eus nx dx et intégrant entre les limites x — ■— n, x = -+■ n, on trouvera de même

I ç( x ) COS ne rlx — rr B, .

Le coefficient A„ s’obtiendra enfin en multipliant par iiv les deux membres de l'équation (a5j et intégrant ensuite entre les limites — 7r et -t-rc, on aura ainsi

dx = xts A.,

et par la substitution des valeurs trouvées pour les coefficients, l’équation 'a5, deviendra

(»6) tp{x) = -î- f <flx)dx J-x

-t- i £ sin xj çfxjsin xdx-t- sin j ç(x)sin xxdx -i- •••

-4- eos xi y(x)nosxdx + casxx I <f{x)cos tx dx + ••• I-

546, L’emploi des coefficients indéterminés est une simple méthode de recherche, et il est indispensable de prouver à posteriori l’égalité des deux membres. Remarquons d’abord que les intégrales définies qui figurent dans le second membre

de (aG) sont indépendantes du nom donné à la variable placée sous le signe f :

il est donc permis d’y remplacer x par une nouvelle variable «, et cette substitution permettra de réunir celles-ci en une seule après avoir introduit sous le signe intégral les facteurs indépendants de « qui les multiplient. La formule 'aG, devient ainsi

(*7> ?(■*) = £ f. ?(a)rfa -+- cos(« — jr) -i- eôsa(a — x) ■+■.. . 4- cosnf* — x) -+- ... J-

Pour en prouver l’exactitude, nous allons calculer le second membre et constater que sa valeur est égale à f (x;.

Supposons d’abord que la série qui sous le signe d’intégration multiplie ç (a) dx

I* Cale. int.

soit arrêtée au terme cosn'a — x), on pourra la réduire à l’aide de la formule

connue

sin In -t- - J (a — x)

- ■+- cos(x — x ; -i- cos 2 (a — x) -t- ... -t- cosn (a — x) = ' — — — - j

asm - (a — x) a

et le second membre de 27 , est par conséquent la limite de l’intégrale

sin |n-t-M(a — x)

rfa — -ï

asin - (a — x

lorsque n augmente indéfiniment.

xélant par hypothèse compris entre — n et -f- it, on peut partager l’intégralé «n deux autres, l’une prise entre les limites -*■ n et t, l’autre entre .r et ir; en posant dans la première « = t— a!i et dans la seconde « =«-t-aj3, l’intégrale ( 38) devient

if.

jH ?(x + »?)</?

sinfan -+■ 1) sin gl

' (n -t- t et ^ (n — x) étant l’un et l’autre compris eutre zéro et n, chacune de ces

intégrales 28i, a pour limite ^<p(x), et l’expression (a;)), qui est leur somme, a pour limite irj/x . ce qui démontre l’exactitude de la formule (27).

5V7. Lorsque, pour la valeur considérée de t, of'x} est discontinue et passe brusquement d’une valeur à une autre de telle sorte que, t étant infiniment petit, <f[x — t) et 7 T-t -e; ne soient pas égaux à la limite, la première des intégrales (ag) est le produit de par la fonction flx — a/3 j. dans laquelle on suppose JS — o, et

la seconde le produit de “ par la fonction j (x-t- 2,?;, dans laquelle on fait la même hypothèse; /5 étant positif dans les deux cas avant de s'annuler, on voit que la somme ( agj est égale au produit de jr par la demi-somme des valeurs de la fonction jt, et que par conséquent la série représente dans ce cas la demi-somme des valeurs de <ptx).

518. Le cas où x est égal à l’une des deux limites — rc et -)-n doit être examiné à part. La seconde intégrale est alors égale h zéro et la première devient